∫ Türev & İntegral Formülleri 2026

Q: Türev-İntegral AYT'de mi sorulur?

Evet. Türev-integral sadece AYT Matematik'te sorulur. TYT'de yoktur. AYT 40 sorudan 9-11'i türev-integral kaynaklıdır — yani sınavın ~%25'i. SAY ve EA puan türleri için kritik.

Q: Türev kurallarını nasıl ezberlerim?

Sıra: 1) (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ 2) Çarpım kuralı (f'g + fg') 3) Bölüm kuralı 4) Zincir kuralı (en kritik) 5) Trig türevleri 6) Üstel/log türevleri. Her gün 10-15 türev sorusu çöz. Zincir kuralı %50'den fazla sorularda kullanılır.

Q: İntegral teknikleri arasında hangisi en önemli?

1) Değişken değiştirme (u-substitution) — en sık kullanılır. 2) Kısmi integrasyon (LIATE) — ürün integrali için. 3) Trigonometrik yerine koyma — köklü ifadeler için. 4) Kısmi kesirler — rasyonel fonksiyonlar için. AYT'de #1 ve #2 zorunlu, #3 ve #4 daha az.

Q: Bu sayfayı PDF olarak indirebilir miyim?

Evet. Sayfa başındaki "📥 PDF Olarak İndir" butonuna tıkla; profesyonel olarak hazırlanmış PDF anında indirilir. testçöz.com tarafından ücretsiz hazırlanmıştır.

Q: Limit-türev-integral hangi sırayla çalışmalı?

1) Limit (Eylül-Ekim) — temel altyapı. 2) Türev (Ekim-Aralık) — limit + türev kuralları. 3) İntegral (Ocak-Şubat) — türev tersi. 4) Mart-Haziran tekrar + AYT denemesi. 12. sınıfa girerken plan yapmadan başarmak çok zor.

Q: Maksimum-minimum problemlerinde nereden başlamalı?

Hangi değişken serbest, hangi sabit belirle. Hedef fonksiyonu (alan, hacim, maliyet) tek değişkenli yaz. Türev al, f'(x) = 0 → kritik noktalar. f''(x) işaretine bakarak max/min belirle. Sınır noktalarını da kontrol et. AYT'de yıllık 1-2 soru çıkar.

AYT Matematik’in en ağırlıklı bölümü için 90+ formül tek sayfada. Limit, türev kuralları, integral teknikleri, alan-hacim hesaplama — 12. sınıf MEB müfredatı.

🎯 AYT Türev-İnt 9-11 Soru
📚 11 Ana Konu
🧮 90+ Formül
📅 12. Sınıf MEB

📥 PDF Olarak Aç (Ücretsiz)

1. Limit (Türev Ön Şartı)

~temel

Limit Tanımı

lim_{x→a} f(x) = L
Soldan: lim_{x→a⁻} f(x)
Sağdan: lim_{x→a⁺} f(x)
Limit varsa: sol = sağ

Limit Kuralları

lim (f ± g) = lim f ± lim g
lim (f · g) = lim f · lim g
lim (f / g) = lim f / lim g (lim g ≠ 0)
lim (fⁿ) = (lim f)ⁿ
lim (k · f) = k · lim f
Süreklilik: lim_{x→a} f(x) = f(a)

Önemli Limitler

lim_{x→0} sin(x)/x = 1
lim_{x→0} (1 – cos x)/x = 0
lim_{x→0} (1 – cos x)/x² = 1/2
lim_{x→∞} (1 + 1/x)ˣ = e
lim_{x→0} (1 + x)^(1/x) = e
lim_{x→0} (eˣ – 1)/x = 1
lim_{x→0} ln(1 + x)/x = 1

Belirsiz Formlar

0/0 · ∞/∞ · ∞ – ∞ · 0·∞ · 1^∞ · 0⁰ · ∞⁰

L’Hôpital kuralı (0/0 veya ∞/∞):
lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)

2. Türev Tanımı

~temel

Türev Tanımı

f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h) – f(x)] / h
= lim_{Δx→0} Δy/Δx
= dy/dx

f'(a): a noktasındaki anlık değişim hızı
Geometrik: x = a noktasındaki teğet eğimi

Türev Notasyonları

f'(x) = (df/dx) = D[f(x)] = (d/dx) f(x)
İkinci türev: f”(x) = d²f/dx²
n. türev: f^(n)(x) = dⁿf/dxⁿ
Leibniz notasyonu: dy/dx, d²y/dx²

3. Temel Türev Kuralları

~kritik

Sabit ve Üs Kuralları

(c)’ = 0 (sabit fonksiyon türev = 0)
(x)’ = 1
(xⁿ)’ = n · xⁿ⁻¹ (üs kuralı)
(c · f)’ = c · f’ (sabit katsayı)
(f ± g)’ = f’ ± g’

Çarpım ve Bölüm Kuralı

(f · g)’ = f’ · g + f · g’
(f / g)’ = (f’ · g – f · g’) / g²
(f · g · h)’ = f’·g·h + f·g’·h + f·g·h’

Zincir Kuralı (Composition)

(f(g(x)))’ = f'(g(x)) · g'(x)
“dış türev × iç türev”

Örnekler:
((x² + 1)⁵)’ = 5(x² + 1)⁴ · 2x
(sin(2x))’ = cos(2x) · 2 = 2 cos(2x)
(e^(3x))’ = e^(3x) · 3 = 3e^(3x)
(ln(x²))’ = (1/x²) · 2x = 2/x

4. Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

~kritik

Temel Trig Türevleri

(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = -sin x
(tan x)’ = sec² x = 1/cos² x
(cot x)’ = -csc² x = -1/sin² x
(sec x)’ = sec x · tan x
(csc x)’ = -csc x · cot x

Ters Trig Türevleri

(arcsin x)’ = 1 / √(1 – x²)
(arccos x)’ = -1 / √(1 – x²)
(arctan x)’ = 1 / (1 + x²)
(arccot x)’ = -1 / (1 + x²)

5. Üstel ve Logaritmik Türev

~kritik

Üstel Fonksiyon

(eˣ)’ = eˣ (e tabanlı)
(aˣ)’ = aˣ · ln(a) (genel taban)
(e^(g(x)))’ = e^(g(x)) · g'(x)

Logaritmik Fonksiyon

(ln x)’ = 1/x (e tabanlı)
(log_a x)’ = 1 / (x · ln a)
(ln(g(x)))’ = g'(x) / g(x)

Logaritmik Türev Tekniği

f(x) = u(x)^v(x) gibi karmaşık fonksiyonlar için:
Önce ln al: ln f = v · ln u
Türev al: f’/f = v’ · ln u + v · u’/u
Örnek: f(x) = xˣ → f'(x) = xˣ · (ln x + 1)

6. Türev Uygulamaları

~ağırlıklı

Teğet ve Normal

Teğet: y – f(a) = f'(a) · (x – a)
Normal: y – f(a) = -1/f'(a) · (x – a)
(teğete dik doğru)

Monotonluk ve Ekstremum

f'(x) > 0 → f artan
f'(x) < 0 → f azalan f'(x) = 0 → kritik nokta (ekstremum adayı) f''(x) > 0 → yerel minimum
f”(x) < 0 → yerel maksimum

Bükülme ve Konkavlık

f”(x) > 0 → yukarı konkav (kase)
f”(x) < 0 → aşağı konkav (kubbe) f''(x) = 0 → büküm noktası adayı (işaret değişiyorsa)

Maksimum-Minimum Problemleri

Adımlar:
1. Değişkenleri belirle
2. Hedef fonksiyonu tek değişkenli yaz
3. Türev al, f'(x) = 0 → kritik noktalar
4. f” veya işaret tablosu ile max/min belirle
5. Sınır kontrolü yap

Hız – İvme

Konum: s(t)
Hız: v(t) = s'(t)
İvme: a(t) = v'(t) = s”(t)
Anlık hız: v(t₀) = s'(t₀)

7. Belirsiz İntegral (Antitürev)

~kritik

Tanım

∫ f(x) dx = F(x) + C
F'(x) = f(x)
C: integrasyon sabiti
İntegral, türevin tersidir.

Temel İntegral Formülleri

∫ k dx = kx + C
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ -1)
∫ (1/x) dx = ln|x| + C
∫ eˣ dx = eˣ + C
∫ aˣ dx = aˣ/ln(a) + C

Trigonometrik İntegral

∫ sin x dx = -cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C
∫ sec² x dx = tan x + C
∫ csc² x dx = -cot x + C
∫ sec x · tan x dx = sec x + C
∫ csc x · cot x dx = -csc x + C

Ters Trig İçeren İntegraller

∫ 1/√(1 – x²) dx = arcsin x + C
∫ -1/√(1 – x²) dx = arccos x + C
∫ 1/(1 + x²) dx = arctan x + C

İntegral Lineerliği

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx
∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx

8. İntegral Teknikleri

~kritik

Değişken Değiştirme (u-substitution)

u = g(x), du = g'(x) dx
∫ f(g(x)) · g'(x) dx = ∫ f(u) du

Örnek: ∫ 2x · cos(x²) dx
u = x², du = 2x dx
= ∫ cos u du = sin u + C = sin(x²) + C

Kısmi İntegrasyon

∫ u dv = u · v – ∫ v du

LIATE kuralı (u olarak seç):
L: Logaritmik (ln x)
I: İnverse (arcsin, arctan)
A: Algebraic (xⁿ)
T: Trig (sin, cos)
E: Exponential (eˣ)

Örnek: ∫ x · cos x dx
u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x
= x · sin x – ∫ sin x dx
= x · sin x + cos x + C

Trigonometrik Yerine Koyma

√(a² – x²) → x = a sin θ
√(a² + x²) → x = a tan θ
√(x² – a²) → x = a sec θ

Kısmi Kesirler

Polinom rasyonel fonksiyonu basit kesirlere ayır.
Örnek: 1 / [(x-1)(x+2)] = A/(x-1) + B/(x+2)
1 = A(x+2) + B(x-1)
x = 1: A = 1/3
x = -2: B = -1/3

9. Belirli İntegral

~kritik

Newton-Leibniz Teoremi

∫_a^b f(x) dx = F(b) – F(a)
F: f’in herhangi bir antitürevi

Belirli İntegral Özellikleri

∫_a^a f = 0
∫_a^b f = -∫_b^a f
∫_a^b f + ∫_b^c f = ∫_a^c f
∫_a^b k · f = k · ∫_a^b f
∫_a^b (f ± g) = ∫_a^b f ± ∫_a^b g
∫_-a^a f(x) dx = 0 (f tek fonksiyon)
∫_-a^a f(x) dx = 2 ∫_0^a f(x) dx (f çift)

Riemann Toplamı

∫_a^b f(x) dx = lim_{n→∞} Σ f(xᵢ) · Δx
Δx = (b-a)/n
İntegral = eğri altında imzalı alan

10. İntegral Uygulamaları

~ağırlıklı

Eğri Altındaki Alan

A = ∫_a^b f(x) dx (f ≥ 0)
A = ∫_a^b |f(x)| dx (genel)
İki eğri arası alan:
A = ∫_a^b [f(x) – g(x)] dx (f ≥ g)

Dönel Cisim Hacmi

X ekseni etrafında:
V = π ∫_a^b [f(x)]² dx (disk yöntemi)
Y ekseni etrafında:
V = π ∫_a^b [f⁻¹(y)]² dy
veya kabuk yöntemi:
V = 2π ∫_a^b x · f(x) dx

Yay Uzunluğu

L = ∫_a^b √(1 + [f'(x)]²) dx

Yüzey Alanı

S = 2π ∫_a^b f(x) · √(1 + [f'(x)]²) dx

Ortalama Değer Teoremi

f̄ = (1/(b-a)) · ∫_a^b f(x) dx
f’in [a, b] üzerindeki ortalama değeri

İş, Yer Değiştirme

Yer değiştirme: x(b) – x(a) = ∫_a^b v(t) dt
İş: W = ∫_a^b F(x) dx

11. Önemli Türev/İntegral Çiftleri

~referans

Hızlı Referans Tablosu

f(x) | f'(x) | ∫f(x)dx
xⁿ | nxⁿ⁻¹ | xⁿ⁺¹/(n+1)
1/x | -1/x² | ln|x|
eˣ | eˣ | eˣ
aˣ | aˣ ln a | aˣ/ln a
ln x | 1/x | x ln x – x
sin x | cos x | -cos x
cos x | -sin x | sin x
tan x | sec² x | -ln|cos x|
sec x | sec x · tan x | ln|sec x + tan x|
1/(1+x²) | -2x/(1+x²)² | arctan x
1/√(1-x²) | x/(1-x²)^(3/2) | arcsin x

📌 Türev-İntegral Stratejisi: Türev-İntegral AYT Matematik’in en ağırlıklı bölümüdür (~9-11 soru). 12. sınıfta limit → türev → integral sırasıyla öğrenilir. Türev kuralları (üs, çarpım, bölüm, zincir) ve trig/üstel türevleri ezbere bilmeli. İntegral için kısmi integrasyon (LIATE) ve değişken değiştirme tekniği kritik. Bol soru çözmeden olmaz.

❓ Sıkça Sorulan Sorular

Türev-İntegral AYT’de mi sorulur?

Evet. Türev-integral sadece AYT Matematik‘te sorulur. TYT’de yoktur. AYT 40 sorudan 9-11’i türev-integral kaynaklıdır — yani sınavın ~%25’i. SAY ve EA puan türleri için kritik.

Türev kurallarını nasıl ezberlerim?

Sıra: 1) (xⁿ)’ = nxⁿ⁻¹ 2) Çarpım kuralı (f’g + fg’) 3) Bölüm kuralı 4) Zincir kuralı (en kritik) 5) Trig türevleri 6) Üstel/log türevleri. Her gün 10-15 türev sorusu çöz. Zincir kuralı %50’den fazla sorularda kullanılır.

İntegral teknikleri arasında hangisi en önemli?

1) Değişken değiştirme (u-substitution) — en sık kullanılır. 2) Kısmi integrasyon (LIATE) — ürün integrali için. 3) Trigonometrik yerine koyma — köklü ifadeler için. 4) Kısmi kesirler — rasyonel fonksiyonlar için. AYT’de #1 ve #2 zorunlu, #3 ve #4 daha az.

Bu sayfayı PDF olarak indirebilir miyim?

Evet. Sayfa başındaki “📥 PDF Olarak İndir” butonuna tıkla; profesyonel olarak hazırlanmış PDF anında indirilir. testçöz.com tarafından ücretsiz hazırlanmıştır.

Limit-türev-integral hangi sırayla çalışmalı?

1) Limit (Eylül-Ekim) — temel altyapı. 2) Türev (Ekim-Aralık) — limit + türev kuralları. 3) İntegral (Ocak-Şubat) — türev tersi. 4) Mart-Haziran tekrar + AYT denemesi. 12. sınıfa girerken plan yapmadan başarmak çok zor.

Maksimum-minimum problemlerinde nereden başlamalı?

Hangi değişken serbest, hangi sabit belirle. Hedef fonksiyonu (alan, hacim, maliyet) tek değişkenli yaz. Türev al, f'(x) = 0 → kritik noktalar. f”(x) işaretine bakarak max/min belirle. Sınır noktalarını da kontrol et. AYT’de yıllık 1-2 soru çıkar.