🔷 Eşlik ve Benzerlik
8. Sınıf Matematik | LGS Hazırlık | Eş ve Benzer Şekiller, Benzerlik Oranı
📌 Eşlik Nedir?
Eş şekiller: Şekil ve boyut olarak tamamen aynı olan şekillerdir. Biri diğerinin üzerine konulduğunda tam örtüşür.
- Eş çokgenlerde karşılıklı kenar uzunlukları eşittir
- Eş çokgenlerde karşılıklı açı ölçüleri eşittir
- Eş şekillerin çevresi ve alanı da eşittir
- Sembol: ≅ (eşlik)
Örnek: ABCD ≅ EFGH ise AB = EF, BC = FG, CD = GH, DA = HE ve ∠A = ∠E, ∠B = ∠F, ∠C = ∠G, ∠D = ∠H
Eş Şekilleri Nasıl Tanırız?
İki çokgen eştir eğer:
- Tüm karşılıklı kenarları eşit VE
- Tüm karşılıklı açıları eşit ise
⚠️ Dikkat: Sadece açılar eşit olması eşlik için yetmez (örneğin tüm açıları eşit ama boyları farklı iki dikdörtgen eş değil, yalnızca benzerdir).
🔎 Benzerlik Nedir?
Benzer şekiller: Şekli (biçimi) aynı, boyutları farklı olan şekillerdir. Biri diğerinin büyütülmüş veya küçültülmüş hâlidir.
- Benzer çokgenlerde karşılıklı açı ölçüleri eşittir
- Benzer çokgenlerde karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır
- Sembol: ~ (benzerlik)
💡 Altın Kural: Eş şekiller aynı zamanda benzerdir, ama benzer şekiller eş olmayabilir.
📐 Benzerlik Oranı
İki benzer çokgendeki karşılıklı kenar uzunluklarının oranına benzerlik oranı (ölçek faktörü) denir.
Benzerlik Oranı = k = AB/A’B’ = BC/B’C’ = CD/C’D’ …
Tüm karşılıklı kenar çiftleri için bu oran aynıdır.
Alan ve Çevre İlişkisi
| Büyüklük | Oran | Açıklama |
|---|---|---|
| Kenar (çevre) | k | Benzerlik oranıyla aynı |
| Alan | k² | Benzerlik oranının karesi |
Örnek: Benzerlik oranı k = 3 olan iki üçgen düşün.
Büyük üçgenin çevresi, küçüğün 3 katıdır.
Büyük üçgenin alanı, küçüğün 3² = 9 katıdır.
🔢 Çözümlü Problemler
Problem 1: ABCD ~ EFGH ve AB = 6, EF = 9 cm ise benzerlik oranı kaçtır? BC = 4 cm ise FG kaç cm’dir?
Benzerlik oranı k = AB/EF = 6/9 = 2/3
BC/FG = 2/3 → 4/FG = 2/3 → FG = 4·3/2 = 6 cm
Problem 2: Benzer iki dikdörtgenin karşılıklı kenarları 5 cm ve 15 cm’dir. Küçük dikdörtgenin alanı 20 cm² ise büyüğünün alanı kaçtır?
Benzerlik oranı k = 15/5 = 3
Alan oranı = k² = 9
Büyük dikdörtgenin alanı = 20 × 9 = 180 cm²
Problem 3: ΔABC ~ ΔDEF, AB = 8, DE = 12, BC = 6 ise EF = ?
AB/DE = BC/EF → 8/12 = 6/EF
EF = 6 × 12 / 8 = 9
Problem 4: Benzerlik oranı 1/4 olan iki karenin çevre oranı ile alan oranı nedir?
Çevre oranı = k = 1/4
Alan oranı = k² = 1/16
✍️ Pratik Yapalım
Soru 1: ABCD ≅ EFGH eşliği verilen iki dörtgende AB = 7 cm ise EF kaç cm’dir?
Eş şekillerde karşılıklı kenarlar eşittir → EF = 7 cm
Soru 2: ~(benzer) iki üçgenin kenarları 3,4,5 ve 6,8,10 cm’dir. Benzerlik oranı kaçtır?
6/3 = 8/4 = 10/5 = 2 (benzerlik oranı k = 2)
Soru 3: Benzerlik oranı 5 olan iki üçgenin alan oranı nedir?
Alan oranı = k² = 5² = 25
Soru 4: Eş iki şekil aynı zamanda benzer midir? Açıkla.
Evet. Eş şekillerde benzerlik oranı k = 1’dir. Karşılıklı açılar eşit, kenarlar da orantılı (1:1 oranında). Ama benzer şekil eş olmayabilir — boyutları farklı olabilir.
🌍 Benzerliğin Gerçek Hayat Uygulamaları
Benzerlik kavramı günlük hayatta pek çok alanda karşımıza çıkar:
| Uygulama | Benzerliğin Rolü |
|---|---|
| Harita ve ölçek | Harita gerçek arazinin benzer bir küçültmesidir; benzerlik oranı = ölçek faktörü |
| Fotoğraf büyütme | Orijinal fotoğraf ile büyütülmüş versiyonu birbirine benzerdir (k > 1) |
| Mimari çizim | Plan ve kesitler gerçek yapının benzer küçültmesidir |
| Gölge hesabı | Cisim ve gölgesi benzer üçgenler oluşturur → yükseklik hesaplanabilir |
Gölge Problemi Örneği (LGS Klasiği)
Problem: Boyu 1,8 m olan bir kişi güneşli bir günde 2,4 m gölge oluşturuyor. Yanındaki ağacın gölgesi 8 m ise ağacın boyu kaç metredir?
Çözüm: Kişi ve gölgesi ile ağaç ve gölgesi benzer üçgenler oluşturur.
Kişi boyu / Kişi gölgesi = Ağaç boyu / Ağaç gölgesi
1,8 / 2,4 = x / 8 → x = 1,8 × 8 / 2,4 = 6 metre
📐 LGS Tarzı İleri Düzey Problemler
Problem 5: İki benzer üçgenin karşılıklı kenarları 4 cm ve 10 cm’dir. Küçük üçgenin alanı 24 cm² ise büyüğünün alanı kaç cm²’dir?
k = 10/4 = 5/2 → Alan oranı = k² = 25/4
Büyük üçgen alanı = 24 × (25/4) = 150 cm²
Problem 6: Benzer iki poligonun benzerlik oranı 3/5’tir. Büyük poligonun çevresi 75 cm ise küçüğünün çevresi kaç cm’dir?
Çevre oranı = benzerlik oranı = 3/5
Küçük çevre / 75 = 3/5 → Küçük çevre = 75 × 3/5 = 45 cm
Problem 7: ΔABC ~ ΔDEF, AB = 6, BC = 9, AC = 12 ve DE = 4 cm ise ΔDEF’nin çevresi kaç cm’dir?
k = DE/AB = 4/6 = 2/3
ΔABC çevresi = 6 + 9 + 12 = 27
ΔDEF çevresi = 27 × (2/3) = 18 cm
Problem 8: İki benzer karenin alanları sırasıyla 36 cm² ve 100 cm²’dir. Benzerlik oranı nedir? Büyük karenin çevresi kaçtır?
Alan oranı = 36/100 = 9/25 → k² = 9/25 → k = 3/5
Büyük karenin alanı = 100 cm² → kenar = √100 = 10 cm → çevre = 4 × 10 = 40 cm
⚠️ LGS’de Sık Yapılan Hatalar
- Eşlik ile benzerliği karıştırma: eşlik = aynı şekil + aynı boyut; benzerlik = aynı şekil, farklı boyut olabilir.
- Alan oranının k değil k² olduğunu unutma.
- Benzerlik oranını yanlış yönde yazma — büyük/küçük mü küçük/büyük mü olduğuna dikkat.
- Benzer çokgenlerde açıların eşit olduğunu unutma — sadece kenarlar değil!
📋 Hızlı Özet
| Özellik | Eşlik (≅) | Benzerlik (~) |
|---|---|---|
| Şekil | Aynı | Aynı |
| Boyut | Aynı | Farklı olabilir |
| Açılar | Eşit | Eşit |
| Kenarlar | Eşit | Orantılı (k ile) |
| Alan oranı | 1 | k² |
🎯 Konuyu anladın mı? Şimdi kendini test et!
0 Yorum