🔄 12. Sınıf Fizik – Çembersel Hareket Konu Anlatımı
Düzgün çembersel hareket, merkezcil kuvvet, öteleme-dönme karşılaştırması, açısal momentum, kütle çekim ve Kepler kanunları bu sayfada detaylı olarak anlatılmaktadır.
📐 Çembersel Hareket Nedir?
Bir cismin sabit bir nokta (merkez) etrafında dairesel bir yörüngede hareket etmesine çembersel hareket denir. Günlük hayatta dönme dolapları, arabaların virajda dönmesi, uydular ve atomdaki elektron hareketi çembersel harekete örnek gösterilebilir.
Çembersel harekette cisim sürekli yön değiştirdiği için hız vektörü sürekli değişir. Hız vektörünün büyüklüğü (sürat) sabit olsa bile yönü değiştiğinden cisim ivmeli bir hareket yapmaktadır. Bu nedenle çembersel hareket bir ivmeli harekettir.
İki tür çembersel hareket vardır:
- Düzgün Çembersel Hareket (DÇH): Cismin sürati sabit, yönü sürekli değişen hareket. İvme merkeze doğrudur.
- Düzgünsüz Çembersel Hareket: Cismin hem sürati hem de yönü değişen hareket. Teğetsel ve merkezcil ivme bileşenleri vardır.
🔢 Temel Büyüklükler ve Kavramlar
📏 Yarıçap (r)
Dönme merkezinden cismin bulunduğu noktaya olan uzaklıktır. Birimi metre (m)‘dir. Çembersel harekette yörünge yarıçapı sabittir.
📐 Açısal Yer Değiştirme (θ)
Cismin dönme merkezi etrafında yaptığı açısal değişimdir. Birimi radyan (rad)‘dır.
- Tam bir tur = 360° = 2π rad ≈ 6,28 rad
- Yarım tur = 180° = π rad ≈ 3,14 rad
- Çeyrek tur = 90° = π/2 rad ≈ 1,57 rad
Dönüşüm formülü: θ (rad) = θ (derece) × π / 180
⏱️ Periyot (T)
Cismin bir tam tur tamamlaması için geçen süredir. Birimi saniye (s)‘dir.
Örneğin bir cisim 2 saniyede bir tam tur yapıyorsa periyodu T = 2 s’dir.
🔄 Frekans (f)
Cismin birim zamanda (1 saniyede) yaptığı tur sayısıdır. Birimi Hertz (Hz) veya devir/s‘dir.
Periyot-Frekans ilişkisi:
Periyot artarsa frekans azalır, frekans artarsa periyot azalır. Bu iki büyüklük ters orantılıdır.
⚡ Açısal Hız (ω) ve Çizgisel Hız (v)
🌀 Açısal Hız (ω – omega)
Birim zamanda alınan açıdır. Birimi rad/s‘dir.
Örnek: Bir cisim 4 saniyede bir tam tur yapıyorsa:
- T = 4 s
- ω = 2π/T = 2π/4 = π/2 rad/s ≈ 1,57 rad/s
Önemli: Aynı eksende birbirine bağlı dönen cisimlerin açısal hızları eşittir. Aynı dişli ya da kasnak sistemiyle bağlı parçalar aynı ω değerine sahiptir.
🏃 Çizgisel Hız (v)
Cismin çember üzerinde birim zamanda aldığı yol (yay uzunluğu) ile ilişkili büyüklüktür. Birimi m/s‘dir.
Kritik fark:
- Aynı disk üzerinde farklı noktalardaki cisimlerin açısal hızları (ω) aynıdır.
- Ama çizgisel hızları (v) farklıdır: merkeze yakın noktanın v değeri küçük, kenardakinin büyüktür (v = ω·r).
Örnek: Yarıçapı 0,5 m olan bir disk 2 saniyede bir tam tur yapıyorsa:
- ω = 2π/2 = π rad/s
- Kenardaki nokta: v = π × 0,5 = 0,5π ≈ 1,57 m/s
- Merkezden 0,2 m uzaktaki nokta: v = π × 0,2 = 0,2π ≈ 0,63 m/s
⚙️ Kasnak ve Dişli Sistemleri
Fizik problemlerinde sıkça karşılaşılan kasnak ve dişli sistemlerinde şu kurallar geçerlidir:
| Bağlantı Türü | Açısal Hız (ω) | Çizgisel Hız (v) |
|---|---|---|
| Aynı eksen (iç içe) | ω aynı | v farklı (v = ω·r) |
| Kayış/zincir ile bağlı | ω farklı | v aynı (temas noktasında) |
| Dıştan temaslı dişli | ω farklı | v aynı (temas noktasında) |
🎯 Merkezcil (Çeğsel) İvme ve Kuvvet
🔵 Merkezcil İvme (am)
Düzgün çembersel harekette cismin sürati sabit olsa da yönü sürekli değiştiği için bir ivme vardır. Bu ivme daima merkeze doğru yönelir ve merkezcil ivme (ya da çeğsel ivme) olarak adlandırılır.
Önemli noktalar:
- Merkezcil ivme her an hız vektörüne diktir (90°).
- Merkezcil ivme cismin süratini değiştirmez, sadece yönünü değiştirir.
- İvme merkeze doğru olduğu için cisim düz bir yolda gitmek yerine eğrisel yörüngede hareket eder.
💪 Merkezcil Kuvvet (Fm)
Newton’un 2. yasası gereği, merkezcil ivmeye neden olan bir kuvvet bulunmalıdır. Bu kuvvet merkezcil kuvvet olarak adlandırılır ve daima merkeze yönelir.
Merkezcil kuvvet ayrı bir kuvvet değildir! Mevcut kuvvetlerin merkeze doğru olan bileşkesidir:
| Durum | Merkezcil Kuvveti Sağlayan |
|---|---|
| İpe bağlı cisim (yatay düzlemde) | İp gerilme kuvveti (T) |
| Arabanın virajda dönmesi | Sürtünme kuvveti (Fₛ) |
| Gezegenin Güneş etrafında dönmesi | Kütle çekim kuvveti (Fᵧ) |
| Elektron çekirdeğin etrafında | Elektrostatik kuvvet (Fₑ) |
| Dönme dolabında oturma | Normal kuvvet (N) |
⚠️ Dikkat: “Merkezkaç kuvvet” diye adlandırılan kuvvet aslında hayali bir kuvvettir. Gerçekte cisim merkezden kaçmak istemez; yeterli merkezcil kuvvet olmadığında cisim doğrusal yoluna devam etmeye çalışır (Newton’un 1. yasası — eylemsizlik). Bu nedenle virajda savrulma, ip koptuğunda taşın fırlaması gibi olaylar eylemsizlikle açıklanır.
🔃 Düşey Düzlemde Çembersel Hareket
İpe bağlı bir cisim düşey düzlemde döndürüldüğünde, en üst ve en alt noktalarda farklı kuvvet dengeleri oluşur.
En Üst Nokta
Ağırlık (mg) ve ip gerilmesi (T) aynı yöndedir, ikisi de merkeze (aşağıya) yönelir.
Kritik durum: İpin gerilmesi sıfır olduğunda (T = 0) cisim dönmeye devam edebileceği en düşük hıza sahiptir:
En Alt Nokta
Ağırlık aşağıya, ip gerilmesi yukarıya (merkeze doğru) yönelir.
Sonuç: En alt noktadaki ip gerilmesi, en üst noktadakinden daima büyüktür. Bu yüzden ip kopacaksa en alt noktada kopar.
💡 Enerji korunumu ile: Sürtünmesiz bir ortamda en alt noktadaki hız ile en üst noktadaki hız arasında enerji korunumu uygulanır:
½mv2(alt) = ½mv2(üst) + mg(2r)
En alt noktada turu tamamlayabilmesi için minimum hız: v_min(alt) = √(5gr)
🛣️ Virajlarda Çembersel Hareket
Düz Viraj (Banketsiz)
Düz bir virajda aracın savrulmadan dönebilmesi için sürtünme kuvveti merkezcil kuvveti sağlamalıdır:
Bu formülden anlaşıldığı gibi:
- Viraj yarıçapı (r) büyükse daha hızlı dönülebilir.
- Sürtünme katsayısı (μ) büyükse daha hızlı dönülebilir.
- Kütleden bağımsızdır — ağır araçla hafif araç aynı max hızda dönebilir.
- Yağmurlu havada μ azalır → max hız düşer → yavaşlamak gerekir.
Banketli (Eğimli) Viraj
Virajlar belli bir açıyla eğimli yapıldığında, normal kuvvetin yatay bileşeni merkezcil kuvvete katkıda bulunur. Bu sayede sürtünme olmasa bile araç virajı alabilir.
Burada α banket açısıdır. Yarış pistlerinde ve otoyol virajlarında bu prensip uygulanır.
🌍 Günlük Hayatta Çembersel Hareket
| Örnek | Merkezcil Kuvvet | Açıklama |
|---|---|---|
| Çamaşır makinesi sıkma | Tamburun normal kuvveti | Su deliklerden eylemsizlikle fırlar |
| Lunapark döne dolap | Koltuk/bar kuvveti | Ağırlıksızlık hissi (üstte) |
| Uydu yörüngesi | Kütle çekim | mg = mv2/r → v = √(gR) |
| Atletizm çekiç atma | İp gerilmesi | Bırakılınca teğet doğrultuda fırlar |
| Bisiklet virajı | Sürtünme + eğilme | Sürücü içe doğru eğilir |
🔀 Öteleme ve Dönme Hareketi
Cisimlerin hareketi iki temel türde incelenir: öteleme hareketi ve dönme hareketi. Pek çok gerçek hareket bu ikisinin bileşimidir (örneğin yuvarlanan bir tekerlek hem öteleme hem dönme yapar).
📊 Öteleme – Dönme Karşılaştırması
| Büyüklük | Öteleme | Dönme |
|---|---|---|
| Yer değiştirme | x (m) | θ (rad) |
| Hız | v (m/s) | ω (rad/s) |
| İvme | a (m/s2) | α (rad/s2) |
| Eylemsizlik | Kütle – m (kg) | Eylemsizlik momenti – I (kg·m2) |
| Kuvvet / Tork | F = m·a | τ = I·α |
| Momentum | p = m·v | L = I·ω |
| Kinetik enerji | Eₖ = ½mv2 | Eₖ = ½Iω2 |
Önemli: Öteleme hareketi için Newton’un 2. yasası F = m·a iken, dönme hareketi için karşılığı τ = I·α (tork = eylemsizlik momenti × açısal ivme) şeklindedir.
⚙️ Eylemsizlik Momenti (I)
Eylemsizlik momenti, bir cismin dönme hareketine karşı gösterdiği direnci ifade eder. Öteleme hareketindeki kütlenin dönmedeki karşılığıdır. Birimi kg·m2‘dir.
Eylemsizlik momenti iki faktöre bağlıdır:
- Kütlenin büyüklüğü: Kütle arttıkça I artar.
- Kütlenin dönme eksenine uzaklığı: Kütle eksenden uzaklaştıkça I çok artar (r2 bağımlılığı).
Bazı geometrik cisimlerin eylemsizlik momentleri:
| Cisim | Dönme Ekseni | I |
|---|---|---|
| Nokta kütle (ipe bağlı) | İpin bağlı olduğu nokta | m·r2 |
| İnce çubuk | Merkezden geçen | 1⁄12 m·L2 |
| İnce çubuk | Ucundan geçen | 1⁄3 m·L2 |
| Dolu silindir / disk | Simetri ekseni | ½ m·R2 |
| İçi boş silindir / halka | Simetri ekseni | m·R2 |
| Dolu küre | Çapı boyunca | 2⁄5 m·R2 |
💡 Pratik örnek: Aynı kütleli iki çubuk düşünün. Birini merkezinden, diğerini ucundan döndürmeye çalışırsanız, ucundan döndürmek daha zordur. Çünkü I(uç) = 1⁄3 mL2 > I(merkez) = 1⁄12 mL2. Kütle dönme ekseninden ne kadar uzaksa, döndürmek o kadar güçleşir.
🔋 Dönme Kinetik Enerjisi
Dönen bir cismin kinetik enerjisi, öteleme kinetik enerjisine benzer biçimde ifade edilir:
Hem öteleme hem dönme yapan cismin (örneğin yuvarlanan bir tekerlek) toplam kinetik enerjisi:
Örnek: Kayma olmadan yuvarlanan dolu bir silindir için I = ½mR2 ve v = ωR olduğundan:
- Eₖ(toplam) = ½mv2 + ½(½mR2)(v/R)2 = ½mv2 + ¼mv2 = ¾mv2
- Enerjinin 2⁄3‘ü ötelemeye, 1⁄3‘ü dönmeye aittir.
💡 Eğik düzlem yarışı: Aynı yükseklikten bırakılan dolu silindir, içi boş silindir ve küre farklı hızlarda iner. Eylemsizlik momenti küçük olan (küre: 2⁄5mR2) daha hızlı iner çünkü enerjinin daha büyük kısmı ötelemeye gider. Sıralama: Küre > Dolu silindir > İçi boş silindir.
🌀 Açısal Momentum
📐 Açısal Momentum Nedir?
Açısal momentum (L), dönen bir cismin dönme hareketinin “miktarını” ifade eden vektörel bir büyüklüktür. Öteleme hareketindeki çizgisel momentumun (p = mv) dönme karşılığıdır.
Birimi kg·m2/s‘dir. Açısal momentum bir vektördür ve yönü sağ el kuralı ile belirlenir: sağ elin parmaklarını dönme yönünde kıvrıldığında başparmağın gösterdiği yön, açısal momentumun yönüdür.
🔗 Çizgisel Momentum ile İlişkisi
Doğrusal yolda hareket eden bir cismin de bir noktaya göre açısal momentumu vardır:
Burada d, hız vektörünün doğrultusunun dönme noktasına olan dik uzaklığıdır (kol uzunluğu). Cisim dönme noktasına doğru veya ondan uzağa hareket ediyorsa (d = 0), açısal momentumu sıfırdır.
⚡ Tork ve Açısal Momentum İlişkisi
Öteleme hareketinde kuvvet momentumu değiştirdiği gibi (F = Δp/Δt), dönme hareketinde tork açısal momentumu değiştirir:
Net tork sıfırsa açısal momentum değişmez — bu, açısal momentumun korunumu ilkesinin temelidir.
🏆 Açısal Momentumun Korunumu
Bir sisteme etkiyen net dış tork sıfırsa, sistemin toplam açısal momentumu korunur:
Sonuç: Eylemsizlik momenti azalırsa açısal hız artar; eylemsizlik momenti artarsa açısal hız azalır.
Günlük hayattan örnekler:
| Örnek | Açıklama |
|---|---|
| Buz pateni piruet | Kollar toplanınca I azalır → ω artar, dönüş hızlanır |
| Buz pateni kolları açma | Kollar açılınca I artar → ω azalır, dönüş yavaşlar |
| Kedi havada dönme | Vücut bölümlerinin I değerlerini değiştirerek hep ayakları üstüne düşer |
| Bisiklet tekerleği dengesi | Dönen tekerlek açısal momentumu nedeniyle devrilmeye direnir |
| Dünya’nın dönüşü | Dış tork olmadığından milyarlarca yıldır dönmeye devam eder |
🌍 Kütle Çekim Kuvveti ve Potansiyel Enerji
🍎 Newton’un Evrensel Çekim Yasası
Evrende kütlesi olan her iki cisim birbirini çeker. Bu kuvvetin büyüklüğü:
- G = 6,67 × 10-11 N·m2/kg2 (evrensel çekim sabiti)
- m1, m2: Cisimlerin kütleleri
- r: Cisimlerin merkezleri arasındaki uzaklık
Önemli özellikler:
- Kuvvet her iki cisme de eşit büyüklükte, zıt yönde etki eder (Newton’un 3. yasası).
- Kuvvet uzaklığın karesiyle ters orantılıdır — uzaklık 2 katına çıkarsa kuvvet 4’te birine düşer.
- Çekim kuvveti daima çekicidir, asla itici değildir.
- Bu kuvvet gezegenler, uydular, yıldızlar ve galaksiler arasında etki eder.
🏔️ Kütle Çekim İvmesi (g) ve Değişkenleri
Bir cismin yeryüzündeki ağırlığı W = mg formülüyle hesaplanır. Burada g, kütle çekim ivmesidir ve şu faktörlere bağlı olarak değişir:
Burada M gezegenin kütlesi, R gezegenin (veya yükseklikle birlikte artmış) yarıçapıdır.
| Değişken | Etki | Açıklama |
|---|---|---|
| Yükseklik (h) | g azalır | g(h) = G·M/(R+h)2 → Yükseldikçe r artar, g azalır |
| Enlem | Kutuplarda g büyük | Dünya tam küre değil, kutuplarda basık → R küçük → g büyük |
| Gezegenin kütlesi | M arttıkça g artar | Jüpiter’de g ≈ 24,8 m/s2, Ay’da g ≈ 1,6 m/s2 |
| Gezegenin yarıçapı | R arttıkça g azalır | Aynı kütlede büyük yarıçaplı gezegenlerde g küçüktür |
⚠️ Dikkat: Yükseklik yeryüzü yarıçapına göre çok küçükse (h ≪ R) g yaklaşık sabit kabul edilir. Ama uzay istasyonu yüksekliğinde (~400 km) g ≈ 8,7 m/s2‘ye düşer. Astronotların ağırlıksız görünmesi g’nin sıfır olmasından değil, sürekli serbest düşme halinde olmalarındandır.
⚡ Kütle Çekim Potansiyel Enerjisi
Yeryüzüne yakın cisimler için potansiyel enerji Eₚ = mgh formülüyle hesaplanır. Ancak yüksekliklerin büyük olduğu (uydu, gezegen) durumlarda genel formül kullanılır:
- Negatif işaret, çekim kuvvetinin bağlayıcı olduğunu gösterir (cismi uzaklaştırmak için enerji vermek gerekir).
- r → ∞ olduğunda Eₚ → 0 olur (referans noktası sonsuzdur).
- r azaldıkça Eₚ daha negatif olur → cisim daha sıkı bağlıdır.
Kaçış hızı: Bir cismin gezegenin çekim alanından tamamen kurtulabilmesi için gereken minimum hız:
Dünya için kaçış hızı yaklaşık 11,2 km/s‘dir. Bu hız cismin kütlesine bağlı değildir.
🪐 Kepler Kanunları
Johannes Kepler, Tycho Brahe’nin gözlem verilerini analiz ederek gezegenlerin hareketini üç temel kanunla açıklamıştır. Bu kanunlar daha sonra Newton’un evrensel çekim yasasıyla teorik olarak kanıtlanmıştır.
1️⃣ Kepler’in 1. Kanunu – Yörüngeler Kanunu
Gezegenler Güneş’in etrafında eliptik yörüngelerde döner. Güneş elipsin bir odak noktasında bulunur.
- Elips, iki odak noktası olan kapalı bir eğridir.
- Gezegen Güneş’e en yakın noktaya (günberi – perihel) ve en uzak noktaya (günöte – afel) gelir.
- Çoğu gezegenin yörüngesi daireye çok yakındır (küçük dışmerkezlilik).
2️⃣ Kepler’in 2. Kanunu – Alanlar Kanunu
Güneş ile gezegen arasındaki doğru parçası (yarıçap vektörü), eşit sürelerde eşit alanlar tarar.
💡 Bunun anlamı: Gezegen Güneş’e yakınken daha hızlı, uzakken daha yavaş hareket eder. Bu durum açısal momentumun korunumuyla doğrudan ilişkilidir: r azaldığında v artmalıdır ki L = mvr sabit kalsın.
3️⃣ Kepler’in 3. Kanunu – Periyotlar Kanunu
Gezegenlerin yörünge periyotlarının kareleri, yörünge yarı büyük eksenlerinin küpleriyle orantılıdır:
Bu formülden şu sonuçlar çıkar:
- Güneş’e uzak gezegenler daha uzun periyotla döner (Neptün: 165 yıl, Merkür: 88 gün).
- Aynı merkez cisim etrafında dönen tüm cisimler için T2/r3 oranı aynıdır.
- Bu kanun uydular için de geçerlidir: T2/r3 = 4π2/(GM_Dünya).
Uydu yörünge hızı: Dairesel yörüngede kütle çekim = merkezcil kuvvet olduğundan:
Yörünge yarıçapı arttıkça uydu hızı azalır. Jeostasyoner uydu (r ≈ 42.164 km, T = 24 saat) bu prensiple çalışır.
| Kepler Kanunu | İfade | Fiziksel Temel |
|---|---|---|
| 1. Kanun | Yörüngeler eliptik | 1/r2 çekim kuvveti |
| 2. Kanun | Eşit zamanda eşit alan | Açısal momentumun korunumu |
| 3. Kanun | T2 ∝ r3 | Newton’un çekim yasası + dairesel hareket |
📝 Çözümlü Örnekler
Örnek 1: Bir cisim 0,4 m yarıçaplı çemberde 5 m/s süratle dönüyor. Merkezcil ivmeyi bulunuz.
Çözüm:
am = v2/r = 52/0,4 = 25/0,4 = 62,5 m/s2
Bu ivme cismin ağırlığının yaklaşık 6,4 katıdır (62,5/9,8 ≈ 6,4g). Yüksek hız ve küçük yarıçap çok büyük merkezcil ivme oluşturur.
Örnek 2: İki kasnak kayış ile bağlı. r1 = 10 cm, r2 = 30 cm. Büyük kasnak 6 rad/s ile dönüyorsa küçük kasnağın açısal hızı kaçtır?
Çözüm:
Kayış ile bağlı kasnaklarda çizgisel hızlar eşittir:
v1 = v2 → ω1·r1 = ω2·r2
ω1 × 10 = 6 × 30 → ω1 = 180/10 = 18 rad/s
Küçük kasnak 3 kat daha hızlı döner. Bu prensip bisiklet viteslerinde kullanılır.
Örnek 3: 2 kg kütleli cisim 1 m uzunluğunda ipe bağlı olarak düşey düzlemde döndürülüyor. En üst noktadaki hızı 4 m/s ise ip gerilmesini bulunuz. (g = 10 m/s2)
Çözüm:
En üst noktada: T + mg = mv2/r
T + 2·10 = 2·16/1
T + 20 = 32
T = 12 N
Örnek 4: Yarıçapı 50 m olan düz bir virajda sürtünme katsayısı 0,5’tir. Aracın savrulmadan alabileceği en yüksek hız kaçtır? (g = 10 m/s2)
Çözüm:
v_max = √(μ·g·r) = √(0,5 × 10 × 50) = √250 ≈ 15,8 m/s ≈ 57 km/h
Yağmurda μ ≈ 0,25 olursa: v_max = √(0,25 × 10 × 50) = √125 ≈ 11,2 m/s ≈ 40 km/h
Bu yüzden virajlarda hız limiti belirtilir ve yağışlı havalarda yavaşlamak gerekir!
Örnek 5: Aynı disk üzerinde A noktası merkezden 20 cm, B noktası merkezden 40 cm uzaklıktadır. Diskin açısal hızı 10 rad/s ise A ve B noktalarının çizgisel hızlarını karşılaştırınız.
Çözüm:
Aynı disk → ω aynı = 10 rad/s
vₐ = ω·rₐ = 10 × 0,20 = 2 m/s
v_B = ω·r_B = 10 × 0,40 = 4 m/s
v_B/vₐ = 2 → B noktası A’nın 2 katı hızla hareket eder. Kenara doğru çizgisel hız artar, bu yüzden dönen bir diskin kenarı daha tehlikelidir.
Örnek 6: 4 kg kütleli, 0,3 m yarıçaplı dolu bir silindir 10 rad/s ile dönüyor. Dönme kinetik enerjisini bulunuz.
Çözüm:
Dolu silindir: I = ½mR2 = ½ × 4 × 0,32 = ½ × 4 × 0,09 = 0,18 kg·m2
Eₖ = ½Iω2 = ½ × 0,18 × 102 = ½ × 0,18 × 100 = 9 J
Örnek 7: Bir buz patencisi kolları açıkken 2 rad/s ile dönüyor (I1 = 5 kg·m2). Kollarını topladığında I2 = 2 kg·m2 oluyorsa yeni açısal hızı kaçtır?
Çözüm:
Açısal momentumun korunumu: I1ω1 = I2ω2
5 × 2 = 2 × ω2
ω2 = 10/2 = 5 rad/s
Eylemsizlik momenti 2,5 kat azaldı, açısal hız 2,5 kat arttı. L korundu!
Örnek 8: Dünya’nın kütlesi 6 × 1024 kg, yarıçapı 6400 km’dir. Yeryüzündeki çekim ivmesini ve 200 km yükseklikteki değerini bulunuz. (G = 6,67 × 10-11 N·m2/kg2)
Çözüm:
Yüzeyde: g = GM/R2 = (6,67 × 10-11 × 6 × 1024) / (6,4 × 106)2
g = (4 × 1014) / (4,1 × 1013) ≈ 9,77 m/s2
200 km yükseklikte: r = 6400 + 200 = 6600 km = 6,6 × 106 m
g(h) = GM/r2 = (4 × 1014) / (6,6 × 106)2 = (4 × 1014) / (4,36 × 1013) ≈ 9,18 m/s2
200 km yükseklikte g yaklaşık %6 azalmış. Uzay istasyonu (~400 km) civarında g ≈ 8,7 m/s2‘dir.
Örnek 9: Bir gezegenin yörünge yarıçapı Dünya’nınkinin 4 katıdır. Bu gezegenin yörünge periyodu Dünya’nınkinin kaç katıdır?
Çözüm:
Kepler’in 3. kanunu: T2 ∝ r3
T22/T12 = r23/r13 = (4r1)3/r13 = 64
T22/T12 = 64 → T2/T1 = √64 = 8
Yörünge yarıçapı 4 kat artınca periyot 8 kat artar.
Örnek 10: Dünya’nın kaçış hızını hesaplayınız. (g = 9,8 m/s2, R = 6,4 × 106 m)
Çözüm:
v_kaçış = √(2gR) = √(2 × 9,8 × 6,4 × 106)
= √(125,44 × 106) = √(1,2544 × 108) ≈ 11.200 m/s ≈ 11,2 km/s
Bu hız cismin kütlesine bağlı değildir — hem bir toz tanesi hem de uzay aracı için aynıdır.
⚠️ Sık Yapılan Hatalar
| ❌ Yanlış | ✅ Doğru |
|---|---|
| Merkezkaç kuvvet cismi dışarı iter | Merkezkaç kuvvet hayalidir; cisim eylemsizliğinden dolayı doğrusal yoluna devam etmeye çalışır |
| DÇH’de ivme sıfırdır çünkü sürat sabit | Yön değiştiği için ivme vardır (merkezcil ivme) |
| Aynı diskteki tüm noktaların çizgisel hızı aynıdır | Açısal hızları aynıdır ama çizgisel hızları farklıdır (v = ω·r) |
| Kayış bağlı kasnaklarda ω eşittir | Kayış bağlıda v eşittir, ω farklıdır; eksen bağlıda ω eşittir |
| Düşey düzlemde ip en üstte kopar | İp gerilmesi en altta en büyüktür, ip altta kopar |
| Eylemsizlik momenti sadece kütleye bağlıdır | Hem kütleye hem kütlenin eksene uzaklığına bağlıdır (I = mr2) |
| Astronotlar ağırlıksızdır çünkü g = 0 | Uzay istasyonunda g ≈ 8,7 m/s2; ağırlıksızlık serbest düşme halinden kaynaklanır |
| Gezegen Güneş’e yakınken yavaşlar | Kepler 2: Güneş’e yakınken hızlanır, uzakken yavaşlar (açısal momentum korunumu) |
📋 Formül Özet Tablosu
| Büyüklük | Formül | Birim |
|---|---|---|
| Periyot-Frekans | f = 1/T | Hz, s |
| Açısal hız | ω = 2π/T = 2πf | rad/s |
| Çizgisel hız | v = ω·r = 2πr/T | m/s |
| Merkezcil ivme | am = v2/r = ω2·r | m/s2 |
| Merkezcil kuvvet | Fm = m·v2/r = m·ω2·r | N |
| Viraj max hız | v_max = √(μ·g·r) | m/s |
| Banket açısı | tan(α) = v2/(g·r) | derece |
| Düşey min hız (üst) | v = √(g·r) | m/s |
| Düşey min hız (alt) | v = √(5g·r) | m/s |
| Eylemsizlik momenti | I = Σmᵢrᵢ2 | kg·m2 |
| Dönme kinetik enerjisi | Eₖ = ½Iω2 | J |
| Açısal momentum | L = I·ω | kg·m2/s |
| Tork | τ = I·α = ΔL/Δt | N·m |
| Kütle çekim kuvveti | F = G·m1m2/r2 | N |
| Çekim ivmesi | g = GM/R2 | m/s2 |
| Çekim potansiyel enerjisi | Eₚ = −GMm/r | J |
| Kaçış hızı | v = √(2GM/R) | m/s |
| Kepler 3. kanun | T2/r3 = 4π2/(GM) | s2, m3 |
🎯 Konu Özeti
- Düzgün çembersel harekette sürat sabit, hız vektörü değişkendir — merkezcil ivme merkeze yönelir.
- Merkezcil kuvvet ayrı bir kuvvet değil, mevcut kuvvetlerin merkeze yönelik bileşkesidir.
- Virajlarda sürtünme merkezcil kuvveti sağlar; banketli virajlar daha güvenlidir.
- Dönme hareketinde kütle yerine eylemsizlik momenti (I = Σmr2), kuvvet yerine tork (τ = Iα) kullanılır.
- Açısal momentum L = Iω korunur: I azalırsa ω artar (buz pateni piruet örneği).
- Kütle çekim kuvveti F = Gm1m2/r2 ile hesaplanır; çekim ivmesi yükseklik ve enlemle değişir.
- Kaçış hızı v = √(2gR), Dünya için yaklaşık 11,2 km/s’dir.
- Kepler kanunları: eliptik yörünge, eşit zamanda eşit alan, T2 ∝ r3.
🔄 Konuyu anladın mı? Şimdi kendini test et!
0 Yorum