12. Sınıf Matematik Diziler 2: Aritmetik ve Geometrik Diziler Testi

🔢 Diziler

📌 Aritmetik Dizi (a.d.)

• Genel terim: a_n = a₁ + (n − 1)·d
• İlk n terim toplamı: S_n = n/2·(a₁ + a_n) = n/2·[2a₁ + (n − 1)d]
• Eşit aralıklı terimler özelliği: a_n−k + a_n+k = 2·a_n
• Örnek: 5, 8, 11, 14, … (a₁=5, d=3)

⚡ Geometrik Dizi (g.d.)

• Genel terim: a_n = a₁·qⁿ⁻¹
• İlk n terim toplamı (q≠1): S_n = a₁·(qⁿ − 1)/(q − 1)
• Sonsuz toplam (|q|<1): S = a₁/(1 − q)
• Eşit aralıklı terim özelliği: a_n−k·a_n+k = (a_n)²
• Örnek: 2, 6, 18, 54, … (a₁=2, q=3)

🧮 Sıkça Kullanılan Toplam Formülleri

• 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2
• 1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6
• 1·2 + 2·3 + … + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3
• 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n² (tek sayıların toplamı)

🔄 Reküransif Diziler ve S_n ↔ a_n

S_n verilmişse: a_n = S_n − S_n−1 (n ≥ 2 için).
Reküransif tanımlı dizilerde (a_n+1 = f(a_n)) terimler adım adım hesaplanır.

Püf nokta: Hem aritmetik hem geometrik olan dizi yalnızca sabit dizidir (d = 0, q = 1).