🔢 Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler
8. Sınıf Matematik | LGS Hazırlık | Çarpım, Özdeşlikler, Çarpanlara Ayırma
📌 Cebirsel İfade Kavramları
Cebirsel ifadeler sayıları, değişkenleri ve işlemleri bir arada içerir. 8. sınıfta bu ifadelerle çarpma, özdeşlikleri açıklama ve çarpanlara ayırma işlemleri yapılır.
| Kavram | Açıklama | Örnek |
|---|---|---|
| Terim | Toplama/çıkarma ile ayrılan her parça | 3x² − 2x + 5 → üç terim |
| Katsayı | Değişkenin önündeki sayı | 3x²’de katsayı 3 |
| Değişken | Sayı yerine geçen harf | x, y, a, b … |
| Sabit terim | Değişken içermeyen terim | 3x² − 2x + 5‘te 5 |
| Benzer terim | Aynı değişken ve üslü terimler | 4x ve −7x benzerdir |
⚠️ Dikkat: Sabit terimin de bir katsayısı vardır — sayının kendisidir. Örneğin 5’in katsayısı 5’tir.
✖️ Cebirsel İfadelerin Çarpımı
Tek Terimli × Çok Terimli
Tek terim, parantez içindeki her terimle ayrı ayrı çarpılır (dağılma özelliği).
y(3y − 2) = 3y² − 2y
−3x(2x + 5) = −6x² − 15x
4a(a² − 3a + 1) = 4a³ − 12a² + 4a
Çok Terimli × Çok Terimli
Birinci parantesteki her terim, ikinci parantesteki her terimle çarpılır.
(2x + 3)(5x − 1)
= 2x · 5x + 2x · (−1) + 3 · 5x + 3 · (−1)
= 10x² − 2x + 15x − 3
= 10x² + 13x − 3
(x − 4)(x + 7)
= x² + 7x − 4x − 28 = x² + 3x − 28
💡 LGS Kısa Yolu: (x + a)(x + b) = x² + (a+b)x + a·b. Örnek: (x+3)(x−5) = x² + (3−5)x + (3·(−5)) = x² − 2x − 15
⭐ Özdeşlikler
Özdeşlik: Her sayı değeri için doğru olan eşitliktir. 8. sınıfta iki temel özdeşlik işlenir:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Açılım: (a+b)² = (a+b)(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²
Örnek 1: (x+5)² = x² + 2·x·5 + 5² = x² + 10x + 25
Örnek 2: (2a+3)² = 4a² + 12a + 9
Örnek 3: (3x+1)² = 9x² + 6x + 1
(a − b)² = a² − 2ab + b²
Örnek 1: (x−4)² = x² − 8x + 16
Örnek 2: (3y−2)² = 9y² − 12y + 4
a² − b² = (a − b)(a + b)
İki kare farkı özdeşliği — ortada +2ab veya −2ab yoksa bu kural hatırla.
Örnek 1: x² − 9 = x² − 3² = (x−3)(x+3)
Örnek 2: 4a² − 25 = (2a)² − 5² = (2a−5)(2a+5)
Örnek 3: 16x² − 1 = (4x−1)(4x+1)
| Özdeşlik | Formül | Tanıma İpucu |
|---|---|---|
| Tam Kare (+ ) | (a+b)² = a² + 2ab + b² | Ortada +2ab var |
| Tam Kare (− ) | (a−b)² = a² − 2ab + b² | Ortada −2ab var |
| İki Kare Farkı | a² − b² = (a−b)(a+b) | Sadece − işareti, ortada terim yok |
🔓 Çarpanlara Ayırma
Çarpanlara ayırma, çarpım işleminin tersidir. Toplamı çarpım biçimine dönüştürme işlemidir. LGS’de 3 yöntem sorulur:
Yöntem 1: Ortak Çarpan Parantezine Alma
Tüm terimlerin ortak çarpanı dışarı çıkarılır.
6x² + 9x = 3x(2x + 3)
4a³ − 8a² + 12a = 4a(a² − 2a + 3)
5x²y − 10xy² = 5xy(x − 2y)
Yöntem 2: İki Kare Farkı ile Çarpanlara Ayırma
a² − b² = (a−b)(a+b) özdeşliği kullanılır.
x² − 16 = (x−4)(x+4)
9a² − 4 = (3a−2)(3a+2)
25x² − 49y² = (5x−7y)(5x+7y)
⚠️ Tuzak: x² + 16 çarpanlara ayrılamaz (iki kare TOPLAMI ayrılmaz)!
Yöntem 3: Tam Kare İfadeyi Çarpanlara Ayırma
a² ± 2ab + b² = (a ± b)² biçiminde yazılır.
x² + 6x + 9 = (x+3)²
4a² − 12a + 9 = (2a−3)²
x² − 10x + 25 = (x−5)²
💡 Tam kare tanıma ipucu: a² ± 2ab + b² → orta terim kontrol et: 2·(√1.terim)·(√3.terim) = orta terim mi? Evet ise tam kare!
🔗 Karma Uygulamalar
Uygulama 1: (x+3)² − (x−2)(x+2) ifadesini sadeleştir.
= (x²+6x+9) − (x²−4)
= x²+6x+9 − x²+4 = 6x + 13
Uygulama 2: 2x² − 8 ifadesini tamamen çarpanlara ayır.
= 2(x² − 4) → ortak çarpan önce!
= 2(x−2)(x+2) → iki kare farkı
Uygulama 3: 3x² + 6x + 3 ifadesini tamamen çarpanlara ayır.
= 3(x² + 2x + 1) → ortak çarpan önce!
= 3(x+1)² → tam kare
Uygulama 4: x = 3 için (x+2)² − (x−2)² değerini iki yöntemle hesapla.
Yöntem A (doğrudan): 5² − 1² = 25 − 1 = 24
Yöntem B (özdeşlik): [(x+2)−(x−2)]·[(x+2)+(x−2)] = 4·2x = 8x → 8·3 = 24
✍️ Pratik Yapalım
Soru 1: (3x−2)² açılımı nedir?
(3x)² − 2·3x·2 + 2² = 9x² − 12x + 4
Soru 2: x² − 64 ifadesini çarpanlara ayır.
x² − 8² = (x−8)(x+8)
Soru 3: 4a² + 20a + 25 ifadesini çarpanlara ayır.
(2a)² + 2·2a·5 + 5² = (2a+5)²
Soru 4: 5x³ − 20x ifadesini tamamen çarpanlara ayır.
= 5x(x²−4) = 5x(x−2)(x+2)
Soru 5: (a+b)² + (a−b)² ifadesini sadeleştir.
= (a²+2ab+b²) + (a²−2ab+b²) = 2a² + 2b²
⚠️ LGS’de Sık Yapılan Hatalar
- (a+b)² = a²+b² YANLIŞ! Ortada 2ab unutulmamalı.
- İki kare TOPLAMI (a²+b²) çarpanlara ayrılmaz — sadece fark ayrılır.
- Çarpanlara ayırmada ortak çarpan önce alınmalı, sonra özdeşlik uygulanmalı.
- (x−3)² açıldığında ortadaki terim negatiftir: x² − 6x + 9
- Çarpım sonucunda benzer terimleri birleştirmeyi unutma!
📋 Hızlı Özet
| İşlem | Formül / Kural |
|---|---|
| Tek × Çok terimli | Dağılma özelliği — her terimle çarp |
| Tam kare (+) | (a+b)² = a² + 2ab + b² |
| Tam kare (−) | (a−b)² = a² − 2ab + b² |
| İki kare farkı | a² − b² = (a−b)(a+b) |
| Çarpanlara ayırma sırası | 1. Ortak çarpan → 2. Özdeşlik |
🎯 Konuyu anladın mı? Şimdi kendini test et!
0 Yorum