12. Sınıf Matematik Diziler Testi

🔢 Diziler

📘 Dizi Kavramı ve Fonksiyonla İlişkisi

Tanım kümesi doğal (pozitif tam) sayılar olan bir fonksiyona dizi denir. Bir dizi kısaca (a_n) biçiminde gösterilir; burada n = 1, 2, 3, … doğal sayıdır ve a_n de dizinin n. terimidir.

🧮 Genel Terim ve İndirgeme Bağıntısı

• Genel terim: a_n‘yi n’ye bağlı doğrudan veren formüldür. Örn: a_n = 4n + 2.
• İndirgeme bağıntısı: a_n‘yi önceki terim(ler)e bağlı tanımlayan formüldür. Örn: Fibonacci dizisi F₁ = 1, F₂ = 1, F_n = F_n−1 + F_n−2.

➕ Aritmetik Dizi

Genel terim: a_n = a₁ + (n − 1)·d
İlk n terim toplamı: S_n = (n / 2)·(a₁ + a_n) = (n / 2)·(2a₁ + (n − 1)·d)

Ardışık her iki terim arasındaki fark sabittir; bu sabite ortak fark (d) denir.

✖️ Geometrik Dizi

Genel terim: a_n = a₁ · rⁿ⁻¹
İlk n terim toplamı (r ≠ 1): S_n = a₁·(rⁿ − 1) / (r − 1)

Ardışık her iki terimin oranı sabittir; bu sabite ortak çarpan (r) denir.

🌍 Gerçek Hayat Problemleri

• Sıçrayan topun yükseklikleri: ortak çarpanı kesirli olan geometrik dizi.
• Fraktal / örüntü adımları: her adımda sabit oranda çoğalma → geometrik dizi.
• Düzenli artan günlük tasarruf, test sayısı vb.: aritmetik dizi.
• Fibonacci dizisi: doğadaki büyüme (ayçiçeği, nautilus kabuğu) ile örneklendirilir.

Hatırla: Aritmetik dizide fark sabit, geometrikte oran sabit. Sorularda “ortak fark” denilince aritmetik, “ortak çarpan” denilince geometrik dizi kastedilir.

⚠️ Test İpucu: Genel terim formülünde n = 1 koyup ilk terimi kontrol et — doğru formül her zaman a₁‘i verir.