√ 8. Sınıf Matematik – Kareköklü İfadeler Konu Anlatımı
Kareköklü ifadeler, bir sayının karekökünü alma ve kareköklü sayılarla işlem yapmayı kapsar. LGS sınavında en az 2-3 soru kareköklü ifadelerden gelir!
📌 Karekök Nedir?
Bir sayının karesi alındığında elde edilen sayının tersine, yani kendisiyle çarpılınca o sayıyı veren değere karekök denir.
Örnekler:
- √4 = 2 (çünkü 2² = 4)
- √9 = 3 (çünkü 3² = 9)
- √25 = 5 (çünkü 5² = 25)
- √100 = 10 (çünkü 10² = 100)
- √0 = 0
⚠️ Dikkat: Negatif sayıların karekökü reel sayılarda tanımsızdır! √(-4) = tanımsız. Karekök işareti altındaki sayı her zaman ≥ 0 olmalı.
Tam Kare Sayılar
Karekökü tam sayı olan sayılara tam kare sayı denir:
💡 LGS İpucu: 1'den 20'ye kadar sayıların karelerini ezberle! Sınavda çok zaman kazandırır.
🔧 Karekök Özellikleri
| Özellik | Formül | Örnek |
|---|---|---|
| Çarpımın karekökü | √(a·b) = √a · √b | √(4·9) = √4 · √9 = 2·3 = 6 |
| Bölümün karekökü | √(a/b) = √a / √b | √(16/4) = √16 / √4 = 4/2 = 2 |
| Karekök kare | (√a)² = a | (√7)² = 7 |
| Kare karekök | √(a²) = |a| | √((-3)²) = √9 = 3 (mutlak değer!) |
| Kök içine alma | a√b = √(a²·b) | 3√2 = √(9·2) = √18 |
| Kök dışına çıkarma | √(a²·b) = a√b | √50 = √(25·2) = 5√2 |
⚠️ Önemli: √(a + b) ≠ √a + √b! Toplamın karekökü, karekökler toplamına EŞİT DEĞİLDİR. Örnek: √(9 + 16) = √25 = 5, ama √9 + √16 = 3 + 4 = 7 → 5 ≠ 7
📐 Kareköklü İfadelerde İşlemler
Toplama ve Çıkarma
Sadece kök içleri aynı olan terimler toplanıp çıkarılabilir:
- 3√5 + 2√5 = 5√5 ✅
- 4√3 – √3 = 3√3 ✅
- 2√3 + 5√2 = 2√3 + 5√2 (sadeleştirilemez)
Örnek: √12 + √27 – √75 = ?
Sadeleştir: √12 = 2√3, √27 = 3√3, √75 = 5√3
= 2√3 + 3√3 – 5√3 = 0
Çarpma ve Bölme
- √3 · √5 = √15
- 2√3 · 3√5 = 6√15
- √18 / √2 = √(18/2) = √9 = 3
Paydayı Rasyonelleştirme
Paydasında karekök olan kesirlerde paydayı tam sayıya çevirmek:
Basit: 6/√3 = (6·√3)/(√3·√3) = 6√3/3 = 2√3
Eşlenik ile: 1/(√5 – √3) = (√5 + √3)/((√5 – √3)(√5 + √3)) = (√5 + √3)/(5-3) = (√5 + √3)/2
💡 Eşlenik Kuralı: (√a – √b) ile (√a + √b) birbirinin eşleniğidir. Çarpımları: (√a)² – (√b)² = a – b (karekökler yok olur!)
📊 Karekökle Karşılaştırma
İki kareköklü ifadeyi karşılaştırmak:
- √a ve √b karşılaştırması: a > b ise √a > √b
- a√b ve c√d karşılaştırması: Kök içine al ve kıyasla
Örnek: 3√2 ve 2√5 hangisi büyük?
3√2 = √(9·2) = √18
2√5 = √(4·5) = √20
√18 < √20 → 2√5 daha büyük
Kareköklü Sayıları Yaklaşık Bulma
Tam kare olmayan sayıların karekökünü hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulmak:
Örnek: √50 hangi iki tam sayı arasındadır?
49 < 50 < 64 → √49 < √50 < √64 → 7 < √50 < 8
🧠 Pratik Sorular
Soru 1: √72 ifadesini sadeleştir.
Cevap: √72 = √(36 × 2) = 6√2
Soru 2: 2√3 + √48 – √27 = ?
Cevap: √48 = 4√3, √27 = 3√3. → 2√3 + 4√3 – 3√3 = 3√3
Soru 3: 10/√5 ifadesinin paydası rasyonelleştirilmiş hali nedir?
Cevap: (10 × √5) / (√5 × √5) = 10√5/5 = 2√5
Soru 4: √(x+3) = 5 ise x kaçtır?
Cevap: İki tarafın karesini al: x + 3 = 25 → x = 22
Soru 5: 5√3 ve 3√7 hangisi büyüktür?
Cevap: 5√3 = √75, 3√7 = √63. √75 > √63 → 5√3 daha büyük
⚡ Sık Yapılan Hatalar
- ❌ √(a+b) = √a + √b sanmak → YANLIŞ! En tehlikeli hata!
- ❌ √(a²) = a sanmak → Doğrusu: √(a²) = |a| (mutlak değer)
- ❌ Kök içi farklı terimleri toplamak → √3 + √5 ≠ √8
- ❌ Kök dışına çıkarmada hata → √50 = 5√2 (25×2 olmalı, 50 değil)
- ❌ Negatif sayının karekökünü almak → √(-9) tanımsız!
📋 Hızlı Özet
- Karekök: √a = b ise b² = a
- Çarpma: √a · √b = √(ab)
- Bölme: √a / √b = √(a/b)
- Kök dışına çıkarma: √(a²·b) = a√b
- Toplama: Sadece kök içleri aynıysa toplanır
- Paydayı rasyonelleştirme: Payda ve paydayı √ ile çarp
- Eşlenik: (√a-√b)(√a+√b) = a-b
√ Kareköklü ifadeleri öğrendin mi? Şimdi kendini test et!
0 Yorum