8. Sınıf Matematik Çarpanlar ve Katlar Konu Anlatımı

Çarpan (Bölen) Nedir?

Bir sayıyı tam bölen sayılara o sayının çarpanları denir.

Örnek: 12 sayısının çarpanları: {1, 2, 3, 4, 6, 12}

• 12 ÷ 1 = 12 ✅ → 1 çarpandır
• 12 ÷ 2 = 6 ✅ → 2 çarpandır
• 12 ÷ 3 = 4 ✅ → 3 çarpandır
• 12 ÷ 4 = 3 ✅ → 4 çarpandır
• 12 ÷ 5 = 2,4 ❌ → 5 çarpan değil
• 12 ÷ 6 = 2 ✅ → 6 çarpandır

Kat Nedir?

Bir sayının doğal sayılarla çarpımlarına o sayının katları denir.

Örnek: 5 sayısının katları: {5, 10, 15, 20, 25, 30, …}

• 5 × 1 = 5
• 5 × 2 = 10
• 5 × 3 = 15
• 5 × 4 = 20 …

⚠️ Dikkat: Çarpan sayısı sonludur (her sayının belirli sayıda çarpanı vardır). Kat sayısı ise sonsuzdur (katlar sonsuza gider).

Tanım: 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir.

İlk 15 asal sayı:

Önemli Kurallar:

• 1 asal değildir! (En çok yapılan hata)
• 2, tek çift asal sayıdır
• 2 hariç tüm asal sayılar tektir
• İki ardışık asal sayı: 2 ve 3 (tek örnek)
• Bir sayının asal olup olmadığını bulmak için, o sayının kareköküne kadar olan asal sayılara bölünüp bölünmediğini kontrol et

💡 LGS İpucu: 50'ye kadar asal sayıları ezberle: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Sınavda zaman kazandırır!

Tanım: Bir doğal sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde ifade etmeye asal çarpanlara ayırma denir.

Yöntem: Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye devam et:

Çarpan Sayısını Bulma

Bir sayı asal çarpanlarına ayrıldığında a^m × bⁿ × c^p şeklindeyse, çarpan sayısı:

Örnek: 180 = 2² × 3² × 5¹

Çarpan sayısı = (2+1) × (2+1) × (1+1) = 3 × 3 × 2 = 18 çarpan

⚠️ LGS İpucu: Bu formül sınavda çok sorulur! Üslere 1 ekleyip çarpmayı unutma.

💡 İpucu: En sık sorulan bölünebilme kuralları: 3, 4, 9 ve 11. Bunları mutlaka öğren!

Tanım: İki veya daha fazla sayının ortak çarpanları arasındaki en büyük olana OBEB denir.

Bulma Yöntemi

1. Sayıları asal çarpanlarına ayır
2. Ortak olan asal çarpanları bul
3. Ortak çarpanların küçük üslülerini çarp

⚠️ OBEB Özellikleri:

• OBEB her zaman sayıların kendilerine eşit veya küçük olur
• Aralarında asal iki sayının OBEB'i 1'dir
• Birbirinin katı olan iki sayının OBEB'i küçük olan sayıdır

Tanım: İki veya daha fazla sayının ortak katları arasındaki en küçük olana OKEK denir.

Bulma Yöntemi

1. Sayıları asal çarpanlarına ayır
2. Tüm asal çarpanları al (ortak olmayanlar dahil)
3. Çarpanların büyük üslülerini çarp

⚠️ OKEK Özellikleri:

• OKEK her zaman sayıların kendilerine eşit veya büyük olur
• Aralarında asal iki sayının OKEK'i çarpımlarına eşittir
• Birbirinin katı olan iki sayının OKEK'i büyük olan sayıdır

• ❌ 1 sayısını asal sanma → 1 asal değildir!
• ❌ OBEB'de büyük üsü alma → OBEB'de küçük üs, OKEK'te büyük üs!
• ❌ OKEK'te sadece ortak çarpanları alma → OKEK'te TÜM çarpanlar alınır!
• ❌ Bölünebilme kurallarını karıştırma → 3: rakamlar toplamı | 4: son iki rakam | 9: rakamlar toplamı
• ❌ Çarpan sayısını yanlış hesaplama → Üslere 1 eklemeyi unutma!