12. Sınıf Matematik Türev 2: Türev Kuralları ve Uygulamaları Testi

🔢 Türev

📌 Temel Türev Kuralları

• Sabit: (c)’ = 0; Üs: (xⁿ)’ = n·xⁿ⁻¹
• Trigonometrik: (sin x)’ = cos x; (cos x)’ = −sin x; (tan x)’ = sec²x
• Üstel/Logaritmik: (e^x)’ = e^x; (a^x)’ = a^x·ln a; (ln x)’ = 1/x
• Toplam/Fark: (f ± g)’ = f’ ± g’

⚡ Çarpım, Bölüm ve Zincir Kuralı

• Çarpım: (u·v)’ = u’·v + u·v’
• Bölüm: (u/v)’ = (u’·v − u·v’)/v²
• Zincir: (f(g(x)))’ = f'(g(x))·g'(x)

📐 Türevin Geometrik Yorumu

• f'(a) = a noktasındaki teğet doğrusunun eğimi
• Teğet denklemi: y − f(a) = f'(a)·(x − a)
• Normal denklemi: y − f(a) = (−1/f'(a))·(x − a)

📊 Monotonluk ve Ekstremum

• f'(x) > 0 → f azalan; f'(x) < 0 → f azalan; f'(x) = 0 → kritik nokta
• İkinci türev testi: f'(a) = 0 ve f”(a) > 0 → yerel min; f”(a) < 0 → yerel maks
• Büküm noktası: f”(x) işaret değiştiriyor

🎯 Optimizasyon Problemleri

1) Değişkenleri belirle. 2) Hedef fonksiyonu tek değişkene indirge. 3) Türevi al, sıfıra eşitle. 4) İkinci türevle min/maks ayır. 5) Cevabı kontrol et (sınır değerleri dahil).

⚠️ Türevsizlik: Köşe noktası, dik teğet, süreksizlik durumlarında türev tanımsızdır. f(x) = |x| → x = 0’da türevsiz.

Hatırla: Yatay teğet → f'(a) = 0. Eğri x = a’da paralel teğete sahipse f'(a) = m (verilen eğim).