12. Sınıf Matematik İntegral Testi

∫ İntegral

📘 Belirsiz İntegral

Bir f(x) fonksiyonunun türevi bilinen F(x) fonksiyonu “ilkel” (antiderivatif) olarak adlandırılır. Belirsiz integral, tüm ilkelleri kapsar:

∫ f(x) dx = F(x) + c   |   (F'(x) = f(x))

🧮 Temel İntegral Kuralları

• ∫ k dx = kx + c (k sabit)
• ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + c, (n ≠ −1)
• ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
• ∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx

🔄 Değişken Değiştirme (u-sub)

u = g(x), du = g'(x) dx yazıldığında ∫ f(g(x)) · g'(x) dx = ∫ f(u) du şeklinde sadeleştirilir. En sık kullanılan özel biçim:

∫ (ax + b)ⁿ dx = (ax + b)ⁿ⁺¹ / [a · (n + 1)] + c

📏 Belirli İntegral

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)

Belirli integralin temel özellikleri:

• ∫_a^a f(x) dx = 0
• ∫_a^b f(x) dx = −∫_b^a f(x) dx
• ∫_a^c f(x) dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_b^c f(x) dx
• ∫_a^b [f ± g] dx = ∫_a^b f dx ± ∫_a^b g dx

📐 Alan Hesabı

• Eğri ile x ekseni arasındaki alan: A = ∫_a^b |f(x)| dx.
• İki eğri arasındaki alan: A = ∫_a^b [üst eğri − alt eğri] dx.
• Kesim noktaları f(x) = g(x) denklemiyle bulunur; bu noktalar sınır sınırlardır.

Hatırla: Belirsiz integralde “+ c” eklemek zorunludur. Türev tek değere karşılık sonsuz ilkel üretir; c sabiti bunu yansıtır.

⚠️ Test İpucu: ∫_a^b (ax + c) dx = 0 tipi denklemlerde a bilinmiyor ise, ilkel fonksiyonu yaz, sınırları yerleştir, elde edilen lineer denklemi a için çöz.