12. Sınıf Matematik Analitik Geometri Testi

⭕ Analitik Geometri — Çember

🎯 Çemberin Standart Denklemi

(x − a)² + (y − b)² = r²

Merkez M(a, b), yarıçap r. Özel durumlar: merkez orijinde ise x² + y² = r².

📝 Genel Denklem

x² + y² + D·x + E·y + F = 0

Bu formdaki denklem, karelerin tamamlanmasıyla standart forma dönüştürülebilir:

• Merkez: M(−D/2, −E/2)
• Yarıçap: r² = (D/2)² + (E/2)² − F (pozitif olmalı)

🧭 Özel Çember Durumları

• x eksenine teğet: r = |b| (merkezin ordinatının mutlak değeri)
• y eksenine teğet: r = |a| (merkezin apsisinin mutlak değeri)
• Her iki eksene teğet: |a| = |b| = r
• Çap uçları (x₁, y₁) ve (x₂, y₂): merkez orta nokta, çap |P₁P₂|
• Dik üçgenin çevrel çemberi: merkez hipotenüsün orta noktası, r = |hipotenüs| / 2

↔️ Doğru ile Çemberin İlişkisi

Çemberin merkezinin doğruya uzaklığı d ile yarıçap r karşılaştırılarak durum belirlenir:

• d < r: doğru çemberi iki farklı noktada keser.
• d = r: doğru çembere teğettir (tek ortak nokta).
• d > r: doğru ile çember ayrıktır.

Noktadan doğruya uzaklık: d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

📏 Dış Noktadan Çemberin Teğeti

Çemberin dışında bir P noktası olsun. P’den çembere çizilen teğet uzunluğu t için:

t² = |PM|² − r²

🔁 Doğru–Çember Kesişim Problemleri

Doğru denklemi çember denklemine yerine konur; genellikle ikinci dereceden bir denklem elde edilir. Denklemin kökleri kesim noktalarının apsisleri (ya da ordinatları) olur. Kökler toplamı/çarpımı için Vieta bağıntısı kullanılabilir.

Hatırla: Genel denklemde x² ve y² katsayıları eşit olmalıdır. 2x² + 2y² + … = 0 ise önce 2’ye bölünür.

⚠️ Test İpucu: Çemberin eksene teğet olduğu durumu tanımak için merkezin ilgili koordinatının mutlak değerini yarıçapa eşit tutman yeter.