🔄 12. Sınıf Fizik – Basit Harmonik Hareket
Basit harmonik hareketi düzgün çembersel hareket ile ilişkilendirme, konum-zaman değişimi, kuvvet-hız-ivme hesaplamaları, yay sarkacı ve basit sarkaç periyodu.
📐 Basit Harmonik Hareket (BHH) Nedir?
Basit harmonik hareket (BHH), bir denge noktası etrafında periyodik olarak tekrarlanan harekettir. Hareketin temel özelliği, cisim denge noktasından ne kadar uzaklaşırsa, onu geri çeken kuvvetin o kadar büyük olmasıdır.
F = -k · x
(Geri çağırıcı kuvvet, yer değiştirmeyle doğru orantılı ve zıt yönlü)
Örnekler: Yay üzerinde salınan cisim, basit sarkaç (küçük açılarda), U tüpündeki sıvı, ses telleri.
Temel Kavramlar
| Kavram | Sembol | Birim | Açıklama |
|---|---|---|---|
| Genlik (Amplitude) | A | m | Denge noktasından maksimum uzaklık |
| Periyot (Period) | T | s | Bir tam titreşim süresi |
| Frekans (Frequency) | f | Hz (1/s) | Birim zamandaki titreşim sayısı |
| Açısal frekans | ω | rad/s | ω = 2πf = 2π/T |
| Yer değiştirme | x | m | Denge noktasından anlık uzaklık |
T = 1/f | f = 1/T | ω = 2π/T = 2πf
🔁 BHH ve Düzgün Çembersel Hareket İlişkisi
Düzgün çembersel hareket yapan bir cismin, çemberin çapına dik doğrultudaki gölgesi basit harmonik hareket yapar. Bu ilişki sayesinde BHH denklemlerini çembersel hareketten türetebiliriz.
Yarıçapı A olan bir çemberde açısal hızı ω ile dönen cismin yatay eksendeki gölgesi:
x(t) = A · cos(ωt + φ)
x: yer değiştirme, A: genlik, ω: açısal frekans, t: zaman, φ: başlangıç fazı
Konum-Zaman Grafiği
BHH yapan cismin konum-zaman grafiği sinüs veya kosinüs eğrisidir:
- Cisim en uç noktadan (x = A) başlarsa → x = A · cos(ωt)
- Cisim denge noktasından (x = 0) başlarsa → x = A · sin(ωt)
- Grafik T periyotuyla tekrar eder.
- Genlik A, grafiğin maksimum yüksekliğidir.
⚡ Hız, İvme ve Kuvvet
Hız Denklemi
Konumun zamana göre türevi hızı verir:
v(t) = -A·ω · sin(ωt)
v = ±ω√(A² – x²)
- Denge noktasında (x = 0): Hız maksimumdur → vmax = A·ω
- Uç noktalarda (x = ±A): Hız sıfırdır → v = 0
İvme Denklemi
Hızın zamana göre türevi ivmeyi verir:
a(t) = -A·ω² · cos(ωt)
a = -ω² · x
- Denge noktasında (x = 0): İvme sıfırdır → a = 0
- Uç noktalarda (x = ±A): İvme maksimumdur → amax = A·ω²
- İvme her zaman denge noktasına doğru yönelir (yer değiştirmeyle ters yönlü).
Kuvvet Denklemi
F = m · a = -m·ω² · x
- Kuvvet daima denge noktasına doğrudur (geri çağırıcı kuvvet).
- Fmax = m·A·ω² (uç noktalarda)
- Fmin = 0 (denge noktasında)
📊 x, v, a Karşılaştırma Tablosu
| Konum (x) | Hız (v) | İvme (a) | Kuvvet (F) |
|---|---|---|---|
| x = 0 (denge) | Maksimum (vmax = Aω) | Sıfır | Sıfır |
| x = ±A (uç) | Sıfır | Maksimum (amax = Aω²) | Maksimum |
| x = A/2 | v = ω√(A² – A²/4) = ω·A√3/2 | a = ω²·A/2 | F = mω²·A/2 |
🔩 Yay Sarkacı
Yay Sarkacının Periyodu
T = 2π√(m/k)
m: cismin kütlesi (kg), k: yay sabiti (N/m)
Periyodu etkileyen değişkenler:
| Değişken | Artarsa T ne olur? |
|---|---|
| Kütle (m) | T artar (daha yavaş titreşir) |
| Yay sabiti (k) | T azalır (daha hızlı titreşir) |
| Genlik (A) | T değişmez (periyot genlikten bağımsız!) |
Yay Sarkacında Açısal Frekans
ω = √(k/m) | ω² = k/m
🎯 Basit Sarkaç
Basit Sarkacın Periyodu
T = 2π√(L/g)
L: ipin uzunluğu (m), g: yerçekimi ivmesi (m/s²)
Periyodu etkileyen değişkenler:
| Değişken | Artarsa T ne olur? |
|---|---|
| İp uzunluğu (L) | T artar |
| Yerçekimi ivmesi (g) | T azalır |
| Kütle (m) | T değişmez (formülde yok!) |
| Genlik (A) | T değişmez (küçük açılarda) |
Yay Sarkacı vs Basit Sarkaç Karşılaştırma
| Özellik | Yay Sarkacı | Basit Sarkaç |
|---|---|---|
| Periyot formülü | T = 2π√(m/k) | T = 2π√(L/g) |
| Kütleye bağlı mı? | Evet | Hayır |
| Yerçekimine bağlı mı? | Hayır | Evet |
| Genliğe bağlı mı? | Hayır | Hayır (küçük açılarda) |
| Uzayda (g=0) | Çalışır (g’ye bağlı değil) | Çalışmaz (g=0 → T=∞) |
⚡ BHH’de Enerji
Ek = ½mv² = ½mω²(A² – x²)
Ep = ½kx² = ½mω²x²
Etoplam = ½kA² = ½mω²A² = sabit
| Konum | Ek | Ep |
|---|---|---|
| x = 0 (denge) | Maksimum (= ½kA²) | Sıfır |
| x = ±A (uç) | Sıfır | Maksimum (= ½kA²) |
| x = A/√2 | Ek = Ep = ½ · Etoplam | Ek = Ep = ½ · Etoplam |
⚠️ Sık Yapılan Hatalar
| ❌ Yanlış | ✅ Doğru |
|---|---|
| Genlik artarsa periyot artar. | Periyot genlikten bağımsızdır. Genlik değişse de T aynı kalır. |
| Denge noktasında ivme maksimumdur. | Denge noktasında ivme sıfırdır. İvme uç noktalarda maksimumdur. |
| Basit sarkacın periyodu kütleye bağlıdır. | Basit sarkacın periyodu kütleden bağımsızdır. Sadece L ve g’ye bağlıdır. |
| Uç noktada hız maksimumdur. | Uç noktada hız sıfırdır. Maksimum hız denge noktasındadır. |
| Ek = Ep noktası x = A/2’dir. | Ek = Ep noktası x = A/√2 ≈ 0.707A‘dır. |
✍️ Pratik Sorular
Soru 1: Yay sabiti 200 N/m olan yaya 2 kg kütle bağlanıyor. Periyodu bulunuz.
Çözüm: T = 2π√(m/k) = 2π√(2/200) = 2π√(0,01) = 2π · 0,1 = 0,628 s ≈ 0,63 s
Soru 2: 1 m uzunluğundaki basit sarkacın periyodu kaçtır? (g = 10 m/s²)
Çözüm: T = 2π√(L/g) = 2π√(1/10) = 2π√(0,1) = 2π · 0,316 = 1,99 s ≈ 2 s
Soru 3: BHH yapan cismin genliği 0,1 m, açısal frekansı 10 rad/s ise maksimum hızı kaçtır?
Çözüm: vmax = A·ω = 0,1 × 10 = 1 m/s
Soru 4: Yay sarkacını Ay’a götürsek periyodu değişir mi? Basit sarkacı götürsek?
Çözüm: Yay sarkacı: T = 2π√(m/k) → g yok, periyot değişmez.
Basit sarkaç: T = 2π√(L/g) → Ay’da g küçük → periyot artar (daha yavaş salınır).
Soru 5: BHH’de kinetik ve potansiyel enerji hangi noktada eşittir?
Çözüm: Ek = Ep olduğunda: ½mω²(A² – x²) = ½mω²x² → A² – x² = x² → x² = A²/2 → x = A/√2 ≈ 0,707A
📋 Konu Özeti
- BHH: Denge noktası etrafında periyodik hareket. F = -kx (geri çağırıcı kuvvet).
- Konum: x = A·cos(ωt), grafiği sinüsoidal.
- Hız: v = ±ω√(A² – x²), vmax = Aω (dengede), v = 0 (uçta).
- İvme: a = -ω²x, amax = Aω² (uçta), a = 0 (dengede).
- Yay sarkacı: T = 2π√(m/k), ω = √(k/m). Kütleye bağlı, g’ye bağlı değil.
- Basit sarkaç: T = 2π√(L/g), ω = √(g/L). L ve g’ye bağlı, kütleye bağlı değil.
- Enerji: Etoplam = ½kA² = sabit. Dengede Ek max, uçta Ep max.
- Ek = Ep: x = A/√2 noktasında.
- Periyot: Genlikten bağımsızdır!
📝 Konuyu anladın mı? Şimdi kendini test et!
0 Yorum