10. Sınıf Sayma ve Permütasyon Testi

📐 Sayma Yöntemleri: Toplama ve Çarpma İlkesi

Sayma problemlerinin temelinde iki ilke vardır:

Örnek: Bir öğrenci okula gitmek için 3 farklı otobüs veya 2 farklı minibüs kullanabiliyorsa toplam 3 + 2 = 5 farklı yolculuk yapabilir (toplama). Ancak gidiş için 3 otobüs, dönüş için 2 minibüs kullanacaksa 3 × 2 = 6 farklı gidiş-dönüş planı vardır (çarpma).

🔢 Basamak Sayısı Problemleri

Belirli bir rakam kümesinden sayı oluşturma soruları, çarpma ilkesinin en yaygın uygulama alanıdır. Bu soruları çözerken dikkat edilecek noktalar:

• İlk basamak sıfır olamaz: Eğer kümede 0 varsa, binler veya yüzler basamağına yerleştirilemez — aksi takdirde sayı istenilen basamak sayısından az olur.
• Rakamlar farklı mı? Sorudaki “rakamları farklı” ifadesi, her basamağa farklı rakam geleceğini belirtir. Bu durumda her adımda seçim sayısı bir azalır.
• Tek/çift sayı koşulu: Tek sayı için birler basamağı tek rakamlardan (1, 3, 5, 7, 9); çift sayı için çift rakamlardan (0, 2, 4, 6, 8) seçilir. Koşullu basamaktan başlayarak çözmek kolaylık sağlar.
• Büyüklük koşulu: “N’den büyük sayılar” gibi koşullarda, ilk basamak kısıtlanır ve duruma göre ayrı ayrı hesaplanıp toplanır.

Hatırla: Koşullu basamak soruları çözerken önce kısıtlı basamağı doldur, sonra diğerlerine geç. Örneğin tek sayı isteniyorsa birler basamağından başla; ilk basamak sıfır olamaz koşulu varsa binler basamağından başla.

❗ Faktöriyel Kavramı

Pozitif bir tam sayı n için, n faktöriyel (n!) şu şekilde tanımlanır:

n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1

Özel tanım: 0! = 1 ve 1! = 1

Faktöriyel işlemlerinde sıkça kullanılan önemli bir özellik:

n! = n × (n−1)!

Bu özellik sayesinde karmaşık faktöriyel ifadelerinde ortak çarpanlar paranteze alınarak sadeleştirme yapılabilir. Örneğin 8! = 8 × 7! olduğundan, 8! − 7! ifadesi 7! × (8 − 1) = 7 × 7! biçiminde yazılabilir.

🔄 Permütasyon

Permütasyon, n elemanlı bir kümeden r tanesini seçerek sıralı dizme işlemidir. Formülü:

P(n, r) = n! / (n−r)!

Özel durum: Tüm elemanlar sıralanıyorsa → P(n, n) = n!

Permütasyonda sıra önemlidir. AB dizilimi ile BA dizilimi farklı sayılır. Eğer sıra önemsiz olsaydı kombinasyon kullanılırdı.

Koşullu Permütasyon

Bazı sorularda belirli elemanların yan yana olması veya belirli konumda durması gibi koşullar verilir:

• Yan yana koşulu: Yan yana olması gereken elemanlar bir “paket” gibi düşünülür. Önce paketin diğer elemanlarla birlikte kaç farklı şekilde sıralanacağı, sonra paketin kendi içindeki sıralama sayısı hesaplanır ve çarpılır.
• Sabit konum koşulu: Belirli yerlere sabitlenen elemanlar çıkarılır, kalan elemanların boş konumlara yerleştirilme sayısı hesaplanır.

Örnek: 6 arkadaş düz bir sırada dizilecek, 2’si mutlaka yan yana olacaksa: 2 kişiyi paket say → 5 birimlik sıralama (5!) × paketin iç sıralaması (2!) = 240 farklı dizilim.

⚠️ Test İpucu: “Rakamları farklı” ve “rakamları tekrar edebilir” ifadelerine çok dikkat et. Tekrar varsa her basamaktaki seçenek sayısı değişmez; tekrar yoksa her adımda bir azalır. Ayrıca koşullu permütasyonda paket yöntemini iyi kavramak birçok soruyu kolaylaştırır.