🔢 10. Sınıf Matematik – Sayma ve Permütasyon
Sayma yöntemleri, çarpma ve toplama ilkesi, faktöriyel, permütasyon kavramı ve uygulamaları. Kapsamlı konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.
📊 Temel Sayma İlkeleri
1. Toplama İlkesi (Veya Kuralı)
Bir iş birbirinden bağımsız iki farklı yoldan yapılabiliyorsa ve birinci yoldan m, ikinci yoldan n şekilde yapılabiliyorsa, bu iş toplam m + n şekilde yapılabilir.
Örnek: Bir kişi İstanbul’dan Ankara’ya 3 farklı otobüs, 2 farklı tren veya 4 farklı uçak ile gidebilir. Toplamda kaç farklı şekilde gidebilir?
Çözüm: 3 + 2 + 4 = 9 farklı şekilde
Anahtar kelime: “veya”, “ya da” → Toplama ilkesi kullanılır.
2. Çarpma İlkesi (Ve Kuralı)
Bir iş birbirini takip eden ardışık aşamalardan oluşuyorsa ve birinci aşama m, ikinci aşama n şekilde yapılabiliyorsa, bu iş toplam m × n şekilde yapılabilir.
Örnek: Bir kişi 4 farklı gömlek ve 3 farklı pantolona sahip. Kaç farklı kıyafet kombinasyonu yapabilir?
Çözüm: 4 × 3 = 12 farklı kombinasyon
Anahtar kelime: “ve”, “ardından”, “sonra” → Çarpma ilkesi kullanılır.
Toplama ve Çarpma İlkesi Karşılaştırması
| Özellik | Toplama İlkesi | Çarpma İlkesi |
|---|---|---|
| Durum | Alternatif yollar (ya biri ya diğeri) | Ardışık aşamalar (biri ve diğeri) |
| Anahtar | “veya”, “ya da” | “ve”, “ardından” |
| İşlem | m + n | m × n |
❗ Faktöriyel
Faktöriyel, bir pozitif tam sayının kendisi dahil 1’e kadar olan tüm pozitif tam sayıların çarpımıdır. n! şeklinde gösterilir.
Tanım
n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 3 × 2 × 1
Önemli Değerler
| n | n! | Hesaplama |
|---|---|---|
| 0 | 1 | Tanım gereği 0! = 1 |
| 1 | 1 | 1! = 1 |
| 2 | 2 | 2! = 2 × 1 = 2 |
| 3 | 6 | 3! = 3 × 2 × 1 = 6 |
| 4 | 24 | 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 |
| 5 | 120 | 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 |
| 6 | 720 | 6! = 720 |
| 7 | 5040 | 7! = 5040 |
| 10 | 3.628.800 | 10! = 3.628.800 |
Faktöriyel Özellikleri
- n! = n × (n-1)! → Örn: 5! = 5 × 4!
- 0! = 1 (tanım gereği, ezberlenmeli!)
- Negatif sayıların faktöriyeli tanımsızdır
- n!/n = (n-1)! → Örn: 6!/6 = 5! = 120
Örnek: 7! / 5! = ?
Çözüm: 7! / 5! = (7 × 6 × 5!) / 5! = 7 × 6 = 42
🔄 Permütasyon
Permütasyon, n elemanlı bir kümenin r tanesinin sıralı olarak seçilmesi ve dizilmesidir. Sıra önemlidir!
Formül
P(n,r) = n! / (n-r)!
n: toplam eleman sayısı, r: seçilen eleman sayısı
Özel Durum: Tüm Elemanların Dizilmesi
n elemanın tamamının sıralanması gerekiyorsa (r = n):
P(n,n) = n!
Örnek 1: 5 kişi yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Çözüm: P(5,5) = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Örnek 2: 8 koşucudan ilk 3’ü (birincilik, ikincilik, üçüncülük) kaç farklı şekilde belirlenebilir?
Çözüm: P(8,3) = 8! / (8-3)! = 8! / 5! = 8 × 7 × 6 = 336
📱 Şifre ve Hane Problemleri
Sayma problemlerinin en klasik türlerinden biri şifre ve sayı oluşturma problemleridir.
Örnek: 4 haneli bir cep telefonu şifresi oluşturulacaktır. Rakamlar tekrar kullanılabilir. En çok kaç farklı şifre oluşturulabilir?
Çözüm: Her haneye 0-9 arası 10 rakam gelebilir.
10 × 10 × 10 × 10 = 10⁴ = 10.000 farklı şifre
Örnek: {1, 2, 3, 4, 5} rakamları ile tekrarsız 3 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
Çözüm: P(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60
Örnek: {0, 1, 2, 3, 4} rakamları ile tekrarsız 3 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
Çözüm: Dikkat! Yüzler basamağına 0 gelemez!
Yüzler: 4 seçenek (1,2,3,4) × Onlar: 4 seçenek (kalan) × Birler: 3 seçenek = 4 × 4 × 3 = 48
👥 Sıralama Problemleri (Şartlı Permütasyon)
1. Belirli Kişilerin Yan Yana Olma Şartı
Yan yana olması gereken kişiler tek bir blok olarak düşünülür, önce blok ve diğerleri sıralanır, sonra blok içi sıralama yapılır.
Örnek: 4 öğretmen ve 5 öğrenci düz bir sırada oturacaktır. Öğretmenler yan yana olmak şartıyla kaç farklı sıralama yapılabilir?
Çözüm:
- 4 öğretmen tek bir blok → Toplam 6 birim (1 blok + 5 öğrenci)
- 6 birimin sıralanması: 6! = 720
- Blok içi (4 öğretmenin kendi arası): 4! = 24
- Toplam: 6! × 4! = 720 × 24 = 17.280
2. Belirli Kişilerin Yan Yana Olmama Şartı
Tüm durumlar – yan yana olan durumlar = yan yana olmayan durumlar
3. Belirli Yerlere Yerleştirme
Başta, sonda veya belirli pozisyonda olması istenen kişiler/elemanlar varsa, önce onlar yerleştirilir.
Örnek: “TÜRKİYE” kelimesinin harfleri ile T ile başlayıp E ile biten 7 harfli kaç farklı kelime yazılabilir?
Çözüm:
- T başa, E sona sabitlenir
- Geriye kalan 5 harf (Ü, R, K, İ, Y) ortadaki 5 yere yerleştirilir
- 5! = 120
- Toplam: 120 farklı kelime
🔁 Tekrarlı Permütasyon
Eğer dizilecek elemanlar arasında birbirinin aynısı olanlar varsa, tekrarlı permütasyon formülü kullanılır.
n! / (n₁! × n₂! × … × nₖ!)
n₁, n₂, … = tekrar eden elemanların sayıları
Örnek: “MATEMATIK” kelimesinin harfleri kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Çözüm: M-A-T-E-M-A-T-I-K → 9 harf
Tekrar edenler: M → 2, A → 2, T → 2
9! / (2! × 2! × 2!) = 362.880 / 8 = 45.360
⭕ Dairesel (Çembersel) Permütasyon
Elemanlar bir daire (yuvarlak masa, çember) etrafında dizilecekse dairesel permütasyon kullanılır.
Dairesel Permütasyon = (n-1)!
Neden (n-1)? Çemberde başlangıç noktası yoktur; bir kişiyi referans olarak sabitleyip diğerlerini sıralarız. Bu yüzden n! yerine (n-1)! kullanılır.
Örnek: 6 kişi yuvarlak bir masaya kaç farklı şekilde oturabilir?
Çözüm: (6-1)! = 5! = 120
📌 Sık Yapılan Hatalar
| ❌ Hata | ✅ Doğru |
|---|---|
| 0! = 0 sanmak | 0! = 1 (tanım gereği) |
| Çok basamaklı sayılarda yüzler basamağına 0 koymak | En soldaki basamağa 0 gelemez |
| Yan yana şartında sadece blok sıralaması yapmak | Blok sıralaması × blok içi sıralama |
| Toplama ve çarpma ilkesini karıştırmak | “veya” → toplama, “ve/ardından” → çarpma |
| Dairesel sıralamada n! kullanmak | Dairesel → (n-1)! |
| Tekrar eden harfleri görmezden gelmek | Tekrarlı permütasyon formülünü kullan |
✏️ Pratik Sorular
Soru 1: 6! / 4! işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm: 6! / 4! = (6 × 5 × 4!) / 4! = 6 × 5 = 30
Soru 2: 7 kitap bir rafa kaç farklı şekilde dizilir?
Çözüm: 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5.040
Soru 3: {0, 1, 2, 3, 4, 5} rakamları ile tekrarsız 4 basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?
Çözüm: Çift sayı → birler basamağı çift olmalı (0, 2, 4).
Durum 1: Birler = 0 → Binler: 5, Yüzler: 4, Onlar: 3 → 5 × 4 × 3 = 60
Durum 2: Birler = 2 veya 4 → Binler: 4 (0 hariç, birler hariç), Yüzler: 4, Onlar: 3 → 2 × 4 × 4 × 3 = 96
Toplam: 60 + 96 = 156
Soru 4: 5 kişi yuvarlak masaya oturacak. 2 belirli kişi yan yana olacak. Kaç farklı oturma düzeni vardır?
Çözüm: 2 kişi blok → 4 birim → Dairesel: (4-1)! = 3! = 6
Blok içi: 2! = 2
Toplam: 6 × 2 = 12
Soru 5: “ISTANBUL” kelimesinin harfleri kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Çözüm: I-S-T-A-N-B-U-L → 8 harf, tekrar eden yok.
8! = 40.320
📝 Konu Özeti
- Toplama İlkesi: Alternatif yollar → m + n (“veya” durumu)
- Çarpma İlkesi: Ardışık aşamalar → m × n (“ve” durumu)
- Faktöriyel: n! = n × (n-1) × … × 1 | 0! = 1
- Permütasyon: P(n,r) = n!/(n-r)! → sıralı seçim
- Tüm elemanlar: P(n,n) = n!
- Tekrarlı Permütasyon: n! / (n₁! × n₂! × …)
- Dairesel Permütasyon: (n-1)!
- Yan yana şartı: Blok yöntemi → Dış sıralama × İç sıralama
- Çok basamaklı sayı: En soldaki haneye 0 gelemez!
🔢 Konuyu anladın mı? Şimdi kendini test et!
0 Yorum