🔢 10. Sınıf Matematik – Sayma ve Olasılık
Toplama ve çarpma ilkeleri, faktöriyel, permütasyon, kombinasyon, Pascal üçgeni, binom açılımı ve olasılık. Kapsamlı konu anlatımı, formüller ve çözümlü örnekler.
📊 Temel Sayma İlkeleri
1. Toplama İlkesi (Veya Kuralı)
Bir iş birbirinden bağımsız iki farklı yoldan yapılabiliyorsa ve birinci yoldan m, ikinci yoldan n şekilde yapılabiliyorsa, bu iş toplam m + n şekilde yapılabilir.
Örnek: Bir kişi İstanbul’dan Ankara’ya 3 farklı otobüs, 2 farklı tren veya 4 farklı uçak ile gidebilir. Toplamda kaç farklı şekilde gidebilir?
Çözüm: 3 + 2 + 4 = 9 farklı şekilde
Anahtar kelime: “veya”, “ya da” → Toplama ilkesi kullanılır.
2. Çarpma İlkesi (Ve Kuralı)
Bir iş birbirini takip eden ardışık aşamalardan oluşuyorsa ve birinci aşama m, ikinci aşama n şekilde yapılabiliyorsa, bu iş toplam m × n şekilde yapılabilir.
Örnek: Bir kişi 4 farklı gömlek ve 3 farklı pantolona sahip. Kaç farklı kıyafet kombinasyonu yapabilir?
Çözüm: 4 × 3 = 12 farklı kombinasyon
Anahtar kelime: “ve”, “ardından”, “sonra” → Çarpma ilkesi kullanılır.
Toplama ve Çarpma İlkesi Karşılaştırması
| Özellik | Toplama İlkesi | Çarpma İlkesi |
|---|---|---|
| Durum | Alternatif yollar (ya biri ya diğeri) | Ardışık aşamalar (biri ve diğeri) |
| Anahtar | “veya”, “ya da” | “ve”, “ardından” |
| İşlem | m + n | m × n |
❗ Faktöriyel
Faktöriyel, bir pozitif tam sayının kendisi dahil 1’e kadar olan tüm pozitif tam sayıların çarpımıdır. n! şeklinde gösterilir.
Tanım
n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 3 × 2 × 1
Önemli Değerler
| n | n! | Hesaplama |
|---|---|---|
| 0 | 1 | Tanım gereği 0! = 1 |
| 1 | 1 | 1! = 1 |
| 2 | 2 | 2! = 2 × 1 = 2 |
| 3 | 6 | 3! = 3 × 2 × 1 = 6 |
| 4 | 24 | 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 |
| 5 | 120 | 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 |
| 6 | 720 | 6! = 720 |
| 7 | 5040 | 7! = 5040 |
| 10 | 3.628.800 | 10! = 3.628.800 |
Faktöriyel Özellikleri
- n! = n × (n-1)! → Örn: 5! = 5 × 4!
- 0! = 1 (tanım gereği, ezberlenmeli!)
- Negatif sayıların faktöriyeli tanımsızdır
- n!/n = (n-1)! → Örn: 6!/6 = 5! = 120
Örnek: 7! / 5! = ?
Çözüm: 7! / 5! = (7 × 6 × 5!) / 5! = 7 × 6 = 42
🔄 Permütasyon
Permütasyon, n elemanlı bir kümenin r tanesinin sıralı olarak seçilmesi ve dizilmesidir. Sıra önemlidir!
Formül
P(n,r) = n! / (n-r)!
n: toplam eleman sayısı, r: seçilen eleman sayısı
Özel Durum: Tüm Elemanların Dizilmesi
n elemanın tamamının sıralanması gerekiyorsa (r = n):
P(n,n) = n!
Örnek 1: 5 kişi yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Çözüm: P(5,5) = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Örnek 2: 8 koşucudan ilk 3’ü (birincilik, ikincilik, üçüncülük) kaç farklı şekilde belirlenebilir?
Çözüm: P(8,3) = 8! / (8-3)! = 8! / 5! = 8 × 7 × 6 = 336
📱 Şifre ve Hane Problemleri
Sayma problemlerinin en klasik türlerinden biri şifre ve sayı oluşturma problemleridir.
Örnek: 4 haneli bir cep telefonu şifresi oluşturulacaktır. Rakamlar tekrar kullanılabilir. En çok kaç farklı şifre oluşturulabilir?
Çözüm: Her haneye 0-9 arası 10 rakam gelebilir.
10 × 10 × 10 × 10 = 10⁴ = 10.000 farklı şifre
Örnek: {1, 2, 3, 4, 5} rakamları ile tekrarsız 3 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
Çözüm: P(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60
Örnek: {0, 1, 2, 3, 4} rakamları ile tekrarsız 3 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
Çözüm: Dikkat! Yüzler basamağına 0 gelemez!
Yüzler: 4 seçenek (1,2,3,4) × Onlar: 4 seçenek (kalan) × Birler: 3 seçenek = 4 × 4 × 3 = 48
👥 Sıralama Problemleri (Şartlı Permütasyon)
1. Belirli Kişilerin Yan Yana Olma Şartı
Yan yana olması gereken kişiler tek bir blok olarak düşünülür, önce blok ve diğerleri sıralanır, sonra blok içi sıralama yapılır.
Örnek: 4 öğretmen ve 5 öğrenci düz bir sırada oturacaktır. Öğretmenler yan yana olmak şartıyla kaç farklı sıralama yapılabilir?
Çözüm:
- 4 öğretmen tek bir blok → Toplam 6 birim (1 blok + 5 öğrenci)
- 6 birimin sıralanması: 6! = 720
- Blok içi (4 öğretmenin kendi arası): 4! = 24
- Toplam: 6! × 4! = 720 × 24 = 17.280
2. Belirli Kişilerin Yan Yana Olmama Şartı
Tüm durumlar – yan yana olan durumlar = yan yana olmayan durumlar
3. Belirli Yerlere Yerleştirme
Başta, sonda veya belirli pozisyonda olması istenen kişiler/elemanlar varsa, önce onlar yerleştirilir.
Örnek: “TÜRKİYE” kelimesinin harfleri ile T ile başlayıp E ile biten 7 harfli kaç farklı kelime yazılabilir?
Çözüm:
- T başa, E sona sabitlenir
- Geriye kalan 5 harf (Ü, R, K, İ, Y) ortadaki 5 yere yerleştirilir
- 5! = 120
- Toplam: 120 farklı kelime
🔁 Tekrarlı Permütasyon
Eğer dizilecek elemanlar arasında birbirinin aynısı olanlar varsa, tekrarlı permütasyon formülü kullanılır.
n! / (n₁! × n₂! × … × nₖ!)
n₁, n₂, … = tekrar eden elemanların sayıları
Örnek: “MATEMATIK” kelimesinin harfleri kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Çözüm: M-A-T-E-M-A-T-I-K → 9 harf
Tekrar edenler: M → 2, A → 2, T → 2
9! / (2! × 2! × 2!) = 362.880 / 8 = 45.360
⭕ Dairesel (Çembersel) Permütasyon
Elemanlar bir daire (yuvarlak masa, çember) etrafında dizilecekse dairesel permütasyon kullanılır.
Dairesel Permütasyon = (n-1)!
Neden (n-1)? Çemberde başlangıç noktası yoktur; bir kişiyi referans olarak sabitleyip diğerlerini sıralarız. Bu yüzden n! yerine (n-1)! kullanılır.
Örnek: 6 kişi yuvarlak bir masaya kaç farklı şekilde oturabilir?
Çözüm: (6-1)! = 5! = 120
📌 Sık Yapılan Hatalar
| ❌ Hata | ✅ Doğru |
|---|---|
| 0! = 0 sanmak | 0! = 1 (tanım gereği) |
| Çok basamaklı sayılarda yüzler basamağına 0 koymak | En soldaki basamağa 0 gelemez |
| Yan yana şartında sadece blok sıralaması yapmak | Blok sıralaması × blok içi sıralama |
| Toplama ve çarpma ilkesini karıştırmak | “veya” → toplama, “ve/ardından” → çarpma |
| Dairesel sıralamada n! kullanmak | Dairesel → (n-1)! |
| Tekrar eden harfleri görmezden gelmek | Tekrarlı permütasyon formülünü kullan |
✏️ Pratik Sorular
Soru 1: 6! / 4! işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm: 6! / 4! = (6 × 5 × 4!) / 4! = 6 × 5 = 30
Soru 2: 7 kitap bir rafa kaç farklı şekilde dizilir?
Çözüm: 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5.040
Soru 3: {0, 1, 2, 3, 4, 5} rakamları ile tekrarsız 4 basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?
Çözüm: Çift sayı → birler basamağı çift olmalı (0, 2, 4).
Durum 1: Birler = 0 → Binler: 5, Yüzler: 4, Onlar: 3 → 5 × 4 × 3 = 60
Durum 2: Birler = 2 veya 4 → Binler: 4 (0 hariç, birler hariç), Yüzler: 4, Onlar: 3 → 2 × 4 × 4 × 3 = 96
Toplam: 60 + 96 = 156
Soru 4: 5 kişi yuvarlak masaya oturacak. 2 belirli kişi yan yana olacak. Kaç farklı oturma düzeni vardır?
Çözüm: 2 kişi blok → 4 birim → Dairesel: (4-1)! = 3! = 6
Blok içi: 2! = 2
Toplam: 6 × 2 = 12
Soru 5: “ISTANBUL” kelimesinin harfleri kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Çözüm: I-S-T-A-N-B-U-L → 8 harf, tekrar eden yok.
8! = 40.320
Soru 6: 12 kişilik bir sınıftan 4 kişilik bir takım kaç farklı şekilde kurulabilir?
Çözüm: Sıra önemli değil → Kombinasyon
C(12,4) = 12! / (4! × 8!) = (12 × 11 × 10 × 9) / (4 × 3 × 2 × 1) = 11.880 / 24 = 495
Soru 7: (x + 1)⁶ açılımında x³ lü terimin katsayısını bulunuz.
Çözüm: x³ → k = 3 (bⁿ⁻ᵏ’den n-k = 3)
T₄ = C(6,3) · x³ · 1³ = 20 · x³
Katsayı: 20
Soru 8: Bir torbada 6 kırmızı ve 4 mavi bilye var. Rastgele 3 bilye çekiliyor. Hepsinin kırmızı olma olasılığı nedir?
Çözüm:
n(S) = C(10,3) = 120
n(A) = C(6,3) = 20
P(A) = 20/120 = 1/6
🎯 Kombinasyon
Kombinasyon, n elemanlı bir kümeden r tanesinin sıra gözetmeksizin seçilmesidir. Permütasyondan farkı: sıra önemli değildir!
Formül
C(n,r) = n! / (r! × (n-r)!)
n: toplam eleman sayısı, r: seçilen eleman sayısı (sıra önemsiz)
Permütasyon ve Kombinasyon Farkı
| Özellik | Permütasyon P(n,r) | Kombinasyon C(n,r) |
|---|---|---|
| Sıra | Önemli (AB ≠ BA) | Önemsiz (AB = BA) |
| Formül | n! / (n-r)! | n! / (r! × (n-r)!) |
| Kullanım | Sıralama, dizme, şifre | Seçme, heyet, takım kurma |
| Sonuç | Daha büyük (sıra sayıyor) | Daha küçük (P/r!) |
Anahtar soru: “Sıra değişirse farklı bir durum oluşur mu?” → Evet ise permütasyon, hayır ise kombinasyon.
Temel Özellikler
- C(n,0) = C(n,n) = 1 → Hiç seçmeme veya hepsini seçme: tek yol
- C(n,1) = n → Tek eleman seçme: n yol
- C(n,r) = C(n, n-r) → Simetri özelliği (örn: C(10,3) = C(10,7))
- C(n,r) = P(n,r) / r! → Permütasyondan r! kadar küçüktür
Örnek 1: 10 öğrenciden 3 kişilik bir heyet kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm: Sıra önemli değil (heyet üyeleri eşit) → Kombinasyon
C(10,3) = 10! / (3! × 7!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 720 / 6 = 120
Örnek 2: Bir sınıfta 8 erkek ve 6 kız öğrenci vardır. 3 erkek ve 2 kız olmak üzere 5 kişilik bir komite kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
Çözüm:
Erkek seçimi: C(8,3) = 56
Kız seçimi: C(6,2) = 15
Toplam (çarpma ilkesi): 56 × 15 = 840
Örnek 3: Bir çokgenin köşegen sayısı C(n,2) − n formülü ile bulunur. 8 köşeli bir çokgenin kaç köşegeni vardır?
Çözüm: C(8,2) − 8 = 28 − 8 = 20 köşegen
🔺 Pascal Üçgeni
Pascal üçgeni, kombinasyon sayılarının üçgen biçiminde dizilmesiyle oluşan bir sayı düzenidir. Her satır bir n değerine, her sütun bir r değerine karşılık gelir.
Yapısı
n=0: 1
n=1: 1 1
n=2: 1 2 1
n=3: 1 3 3 1
n=4: 1 4 6 4 1
n=5: 1 5 10 10 5 1
Üçgendeki her sayı, bir üst satırdaki iki komşu sayının toplamıdır. Örneğin 4. satırdaki 6, üstteki 3 ve 3’ün toplamıdır.
Pascal Üçgeni ve Kombinasyon İlişkisi
| Satır (n) | Kombinasyon Değerleri | Sayısal Değerler |
|---|---|---|
| 0 | C(0,0) | 1 |
| 1 | C(1,0) C(1,1) | 1 1 |
| 2 | C(2,0) C(2,1) C(2,2) | 1 2 1 |
| 3 | C(3,0) C(3,1) C(3,2) C(3,3) | 1 3 3 1 |
| 4 | C(4,0) C(4,1) C(4,2) C(4,3) C(4,4) | 1 4 6 4 1 |
Temel Özellikleri
- Simetri: C(n,r) = C(n, n-r) → Her satır simetrik
- Toplama özelliği: C(n,r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r) → Bir eleman, üstündeki iki elemanın toplamı
- Satır toplamı: n. satırdaki tüm sayıların toplamı = 2ⁿ
- Kenarlar: Üçgenin her iki kenarı daima 1’dir (C(n,0) = C(n,n) = 1)
Örnek: Pascal üçgeninde 5. satırın toplamı kaçtır?
Çözüm: 2⁵ = 32
Doğrulama: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 ✓
Örnek: C(7,3) + C(7,4) = ?
Çözüm: Pascal üçgeninin toplama özelliğinden: C(7,3) + C(7,4) = C(8,4)
C(8,4) = 8! / (4! × 4!) = (8 × 7 × 6 × 5) / (4 × 3 × 2 × 1) = 1680 / 24 = 70
📐 Binom Açılımı
Binom açılımı, (a + b)ⁿ ifadesinin açılımını Pascal üçgeni ve kombinasyon sayıları ile ifade eder.
Binom Teoremi
(a + b)ⁿ = C(n,0)·aⁿ + C(n,1)·aⁿ⁻¹·b + C(n,2)·aⁿ⁻²·b² + … + C(n,n)·bⁿ
Katsayılar Pascal üçgeninin n. satırındaki sayılardır
Genel Terim Formülü
Tₖ₊₁ = C(n,k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ
k = 0, 1, 2, …, n (toplam n+1 terim vardır)
Bilinen Açılımlar
| İfade | Açılım |
|---|---|
| (a + b)² | a² + 2ab + b² |
| (a + b)³ | a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
| (a + b)⁴ | a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ |
| (a − b)ⁿ | b yerine (−b) konur → İşaretler + − + − şeklinde değişir |
Önemli Özellikler
- (a + b)ⁿ açılımında toplam terim sayısı: n + 1
- Katsayılar toplamı: a = b = 1 konursa → 2ⁿ
- a ve b’nin kuvvetleri: a’nın kuvveti n’den 0’a, b’nin kuvveti 0’dan n’e gider
- (a − b)ⁿ katsayılar toplamı: a = b = 1 konursa → 0 (n tek ise) veya (−1)ⁿ değil, a=1, b=1 → (1−1)ⁿ = 0
Örnek 1: (x + 2)⁴ açılımında x² li terimin katsayısı kaçtır?
Çözüm: x²’li terim → aⁿ⁻ᵏ = x² ise n−k = 2, yani k = 2
T₃ = C(4,2) · x² · 2² = 6 · x² · 4 = 24x²
Katsayı: 24
Örnek 2: (1 + x)⁵ açılımında tüm katsayıların toplamı kaçtır?
Çözüm: x = 1 konur → (1 + 1)⁵ = 2⁵ = 32
Örnek 3: (2x − 1)³ açılımını yapınız.
Çözüm: a = 2x, b = −1, n = 3
= C(3,0)·(2x)³ + C(3,1)·(2x)²·(−1) + C(3,2)·(2x)·(−1)² + C(3,3)·(−1)³
= 1·8x³ + 3·4x²·(−1) + 3·2x·1 + 1·(−1)
= 8x³ − 12x² + 6x − 1
🎲 Olasılık
Temel Kavramlar
| Kavram | Açıklama | Örnek |
|---|---|---|
| Deney | Sonucu önceden kesin bilinemeyen eylem | Zar atma, yazı-tura |
| Örnek Uzay (S) | Tüm olası sonuçların kümesi | Zar: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} |
| Olay (A) | Örnek uzayın alt kümesi | Çift gelme: A = {2, 4, 6} |
| Kesin Olay | Mutlaka gerçekleşen olay (S’nin kendisi) | Zarda 1-6 arası gelme: P = 1 |
| İmkânsız Olay | Asla gerçekleşmeyen olay (boş küme) | Zarda 7 gelme: P = 0 |
| Tamamlayıcı Olay (A’) | A olayının gerçekleşmemesi | Çift gelmeme: A’ = {1, 3, 5} |
Klasik Olasılık Tanımı
P(A) = n(A) / n(S)
n(A): A olayının eleman sayısı, n(S): Örnek uzayın eleman sayısı
Olasılık Aksiyomları
- Her olay için: 0 ≤ P(A) ≤ 1
- Kesin olayın olasılığı: P(S) = 1
- İmkânsız olayın olasılığı: P(∅) = 0
- Tamamlayıcı olay: P(A’) = 1 − P(A)
Örnek 1: Bir zar atıldığında asal sayı gelme olasılığı nedir?
Çözüm: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S) = 6
Asal sayılar: A = {2, 3, 5} → n(A) = 3
P(A) = 3/6 = 1/2
Örnek 2: İki zar atıldığında toplam 7 gelme olasılığı nedir?
Çözüm: İki zar → n(S) = 6 × 6 = 36
Toplam 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → n(A) = 6
P(A) = 6/36 = 1/6
Olay Türleri ve İşlemleri
Bağımsız Olaylar
İki olay birbirini etkilemiyorsa bağımsızdır. Bağımsız olaylarda:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Örnek: Bir madeni para 3 kez atıldığında 3’ünün de yazı gelme olasılığı nedir?
Çözüm: Her atış bağımsız. P(Yazı) = 1/2
P(3 yazı) = 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8
Birleşim (A veya B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eğer A ve B ayrık olaylar (aynı anda gerçekleşemez) ise: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Örnek: Bir kartı desteden çektiğimizde kupa veya as gelme olasılığı nedir? (52 kartlık deste)
Çözüm:
P(Kupa) = 13/52, P(As) = 4/52, P(Kupa ve As) = 1/52
P(Kupa ∪ As) = 13/52 + 4/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13
📊 Olasılık Uygulamaları
Sayma Yöntemleri ile Olasılık
Permütasyon ve kombinasyon, olasılık hesaplarında çok sık kullanılır. Karmaşık olasılık problemlerinde n(A) ve n(S) değerleri sayma yöntemleriyle bulunur.
Örnek 1: 5 erkek ve 4 kız öğrenciden rastgele 3 kişi seçiliyor. Seçilenlerin en az 2’sinin kız olma olasılığı nedir?
Çözüm:
n(S) = C(9,3) = 84
Tam 2 kız, 1 erkek: C(4,2) × C(5,1) = 6 × 5 = 30
Tam 3 kız: C(4,3) = 4
n(A) = 30 + 4 = 34
P(A) = 34/84 = 17/42
Örnek 2: “MATEMATİK” kelimesinin harfleri rastgele sıralandığında, kelimenin M ile başlayıp K ile bitme olasılığı nedir?
Çözüm:
M-A-T-E-M-A-T-İ-K → 9 harf (M:2, A:2, T:2 tekrar)
n(S) = 9! / (2! × 2! × 2!) = 45.360
M başa, K sona sabit → Kalan 7 harf: A, T, E, M, A, T, İ (A:2, T:2 tekrar)
n(A) = 7! / (2! × 2!) = 1.260
P(A) = 1.260 / 45.360 = 1/36
Tamamlayıcı Olay Yöntemi
“En az bir” veya “en çok” gibi ifadeler içeren problemlerde tamamlayıcı olay yöntemi işleri kolaylaştırır:
P(en az bir) = 1 − P(hiç olmama)
Örnek: Bir zar 3 kez atılıyor. En az bir kez 6 gelme olasılığı nedir?
Çözüm:
P(6 gelmeme) = 5/6 (her atışta)
P(hiç 6 gelmeme) = (5/6)³ = 125/216
P(en az bir 6) = 1 − 125/216 = 91/216
Olasılık Hesabında Sık Kullanılan Durumlar
| Problem Türü | Yöntem |
|---|---|
| Sıralı seçim (şifre, numara) | Permütasyon ile n(A) ve n(S) bul |
| Sırasız seçim (heyet, takım) | Kombinasyon ile n(A) ve n(S) bul |
| Ardışık bağımsız deneyler | Çarpma kuralı: P(A) × P(B) |
| “En az bir” problemleri | Tamamlayıcı: 1 − P(hiç olmama) |
| “A veya B” problemleri | Birleşim: P(A) + P(B) − P(A∩B) |
Örnek: 10 ampulden 3’ü bozuk. Rastgele 2 ampul seçiliyor. İkisinin de sağlam olma olasılığı nedir?
Çözüm:
n(S) = C(10,2) = 45
Sağlam ampul: 7 adet → n(A) = C(7,2) = 21
P(A) = 21/45 = 7/15
📝 Konu Özeti
- Toplama İlkesi: Alternatif yollar → m + n (“veya” durumu)
- Çarpma İlkesi: Ardışık aşamalar → m × n (“ve” durumu)
- Faktöriyel: n! = n × (n-1) × … × 1 | 0! = 1
- Permütasyon: P(n,r) = n!/(n-r)! → sıralı seçim
- Tekrarlı Permütasyon: n! / (n₁! × n₂! × …)
- Dairesel Permütasyon: (n-1)!
- Kombinasyon: C(n,r) = n! / (r! × (n-r)!) → sırasız seçim
- Pascal Üçgeni: C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r) | Satır toplamı = 2ⁿ
- Binom Açılımı: (a+b)ⁿ → katsayılar Pascal üçgeninden | n+1 terim
- Olasılık: P(A) = n(A)/n(S) | 0 ≤ P(A) ≤ 1 | P(A’) = 1 − P(A)
- Bağımsız olaylar: P(A∩B) = P(A) × P(B)
- Birleşim: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
🔢 Konuyu anladın mı? Şimdi kendini test et!
0 Yorum