🔢 Denklemler ve Eşitsizlikler
Sayı kümeleri, bölünebilme, EBOB-EKOK, periyodik problemler, aralık kavramı, birinci dereceden denklem ve eşitsizlikler, mutlak değer, üslü-köklü ifadeler, oran-orantı.
🔢 Bölüm 1: Sayı Kümeleri ve İlişkileri
| Küme | Sembol | Elemanları | Örnek |
|---|---|---|---|
| Doğal sayılar | ℕ | {0, 1, 2, 3, …} | 0, 5, 100 |
| Tam sayılar | ℤ | {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} | −3, 0, 7 |
| Rasyonel sayılar | ℚ | a/b şeklinde (b ≠ 0) | 1/2, −3/4, 0.75 |
| İrrasyonel sayılar | ℚ’ | Kesir olarak yazılamayan | √2, π, e |
| Gerçel sayılar | ℝ | ℚ ∪ ℚ’ (tüm sayılar) | Sayı doğrusu üzerindeki her nokta |
Küme ilişkisi: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ve ℚ’ ⊂ ℝ
➗ Bölüm 2: Bölünebilme, EBOB ve EKOK
Bölünebilme Kuralları
| Sayı | Kural | Örnek |
|---|---|---|
| 2 | Son rakam çift (0, 2, 4, 6, 8) | 324 → son rakam 4 ✓ |
| 3 | Rakamları toplamı 3’e bölünür | 123 → 1+2+3=6 ✓ |
| 4 | Son iki rakam 4’e bölünür | 1524 → 24÷4=6 ✓ |
| 5 | Son rakam 0 veya 5 | 235 → son rakam 5 ✓ |
| 6 | Hem 2’ye hem 3’e bölünür | 132 → çift ve 1+3+2=6 ✓ |
| 8 | Son üç rakam 8’e bölünür | 5128 → 128÷8=16 ✓ |
| 9 | Rakamları toplamı 9’a bölünür | 729 → 7+2+9=18 ✓ |
| 10 | Son rakam 0 | 450 → son rakam 0 ✓ |
| 11 | Tek ve çift basamak toplamlarının farkı 0 veya 11’in katı | 9174 → (9+7)−(1+4)=11 ✓ |
EBOB ve EKOK
| Kavram | Tanım | Bulma Yöntemi |
|---|---|---|
| EBOB | En Büyük Ortak Bölen | Ortak asal çarpanların en küçük kuvvetlerinin çarpımı |
| EKOK | En Küçük Ortak Kat | Tüm asal çarpanların en büyük kuvvetlerinin çarpımı |
Örnek: 12 = 2² × 3 ve 18 = 2 × 3²
- EBOB(12, 18) = 2¹ × 3¹ = 6
- EKOK(12, 18) = 2² × 3² = 36
- Formül: EBOB × EKOK = a × b → 6 × 36 = 12 × 18 = 216 ✓
↔️ Bölüm 3: Gerçek Sayılarda Aralık Kavramı
Gerçek sayılar kümesinin belirli koşulları sağlayan alt kümelerine aralık denir.
| Aralık Türü | Gösterim | Koşul | Uç Noktalar |
|---|---|---|---|
| Açık aralık | (a, b) | a < x < b | Dahil değil |
| Kapalı aralık | [a, b] | a ≤ x ≤ b | Dahil |
| Yarı açık (soldan) | (a, b] | a < x ≤ b | a dahil değil, b dahil |
| Yarı açık (sağdan) | [a, b) | a ≤ x < b | a dahil, b dahil değil |
Sonsuz aralıklar:
- (−∞, a) → x < a olan tüm gerçel sayılar
- [a, +∞) → x ≥ a olan tüm gerçel sayılar
- (−∞, +∞) = ℝ
📏 Bölüm 4: Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
Birinci Dereceden Denklem: ax + b = 0
a ≠ 0 olmak üzere, ax + b = 0 denkleminin çözümü: x = −b/a
Örnek: 3x − 6 = 0 → 3x = 6 → x = 2. Çözüm kümesi: Ç = {2}
Birinci Dereceden Eşitsizlik
ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0 biçimindeki ifadeler.
| Kural | Açıklama |
|---|---|
| Her iki tarafa aynı sayı eklenip çıkarılabilir | Eşitsizlik yönü değişmez |
| Her iki taraf pozitif sayıyla çarpılabilir/bölünebilir | Eşitsizlik yönü değişmez |
| Negatif sayıyla çarpma/bölme | Eşitsizlik yönü DEĞİŞİR! |
Örnek: −2x + 4 > 0 → −2x > −4 → x < 2 (negatifle böldük, yön değişti)
Çözüm kümesi: Ç = (−∞, 2)
Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlik
|x| bir sayının sıfıra olan uzaklığıdır. |x| = a (a ≥ 0) ise x = a veya x = −a.
| İfade | Çözüm |
|---|---|
| |x| = a (a > 0) | x = a veya x = −a |
| |x| < a (a > 0) | −a < x < a |
| |x| > a (a > 0) | x < −a veya x > a |
| |x| = 0 | x = 0 |
| |x| = −a (a > 0) | Çözüm yok (mutlak değer negatif olamaz) |
Örnek: |2x − 3| = 5 → 2x − 3 = 5 veya 2x − 3 = −5 → x = 4 veya x = −1. Ç = {−1, 4}
📐 Bölüm 5: İki Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri
İki bilinmeyenli birinci dereceden denklem sistemi, her iki denklemi de sağlayan (x, y) ikilisini bulmaktır.
Çözüm Yöntemleri
| Yöntem | Nasıl Yapılır |
|---|---|
| Yerine koyma | Bir denklemden bir bilinmeyeni yalnız bırak, diğer denkleme yerleştir |
| Yok etme (toplama-çıkarma) | Denklemleri uygun katsayılarla çarpıp toplayarak bir bilinmeyeni yok et |
Örnek
2x + y = 7 ve x − y = 2 sistemini çözünüz.
2x + y + x − y = 7 + 2 → 3x = 9 → x = 3
x = 3’ü birinci denkleme koyarsak: 2(3) + y = 7 → y = 1
Çözüm: (x, y) = (3, 1)
Eşitsizlik Sistemi
İki veya daha fazla eşitsizliğin ortak çözüm kümesi aranır.
Örnek: x + 1 > 3 ve 2x < 10
2x < 10 → x < 5 → (−∞, 5)
Ortak çözüm: (2, +∞) ∩ (−∞, 5) = (2, 5)
📈 Bölüm 6: Üslü ve Köklü İfadeler
Üslü İfade Kuralları
| Kural | Formül | Örnek |
|---|---|---|
| Aynı tabanlı çarpma | aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Aynı tabanlı bölme | aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ | 3⁵ / 3² = 3³ = 27 |
| Üssün üssü | (aⁿ)ᵐ = aⁿˣᵐ | (2³)² = 2⁶ = 64 |
| Sıfır üs | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 5⁰ = 1 |
| Negatif üs | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| Çarpımın üssü | (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ | (2×3)² = 4×9 = 36 |
| Bölümün üssü | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | (3/2)² = 9/4 |
Köklü İfade Kuralları
| Kural | Formül | Örnek |
|---|---|---|
| Köklü ifade tanımı | ⁿ√a = a^(1/n) | √9 = 9^(1/2) = 3 |
| Köklerin çarpımı | √a × √b = √(ab) | √2 × √8 = √16 = 4 |
| Köklerin bölümü | √a / √b = √(a/b) | √50 / √2 = √25 = 5 |
| Kökün üssü | (√a)ⁿ = √(aⁿ) = a^(n/2) | (√3)⁴ = 3² = 9 |
| Paydayı kökten kurtarma | a/√b = a√b / b | 6/√3 = 6√3/3 = 2√3 |
⚖️ Bölüm 7: Oran ve Orantı
Oran
İki büyüklüğün bölümüne oran denir. a/b veya a:b şeklinde gösterilir.
Orantı
İki oranın eşitliğine orantı denir: a/b = c/d
| Orantı Türü | Tanım | Formül | Örnek |
|---|---|---|---|
| Doğru orantı | Biri artarsa diğeri de artar | x/y = k (sabit) | Hız sabitken: yol/süre = sabit |
| Ters orantı | Biri artarsa diğeri azalır | x × y = k (sabit) | İşçi sayısı artar → süre azalır |
Önemli Orantı Özellikleri
a/b = c/d ise:
- Çapraz çarpım: a × d = b × c
- Ters çevirme: b/a = d/c
- Toplama: (a+b)/b = (c+d)/d
- Bileşke orantı: a/b = c/d = (a+c)/(b+d) = (a−c)/(b−d)
Örnek: 3 işçi bir işi 12 günde bitiriyor. 4 işçi kaç günde bitirir?
3 × 12 = 4 × x → x = 36/4 = 9 gün
📝 Bölüm 8: Pratik Sorular
Soru 1: EBOB(24, 36) ve EKOK(24, 36) değerlerini bulunuz.
Cevap: 24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3². EBOB = 2² × 3 = 12. EKOK = 2³ × 3² = 72. Kontrol: 12 × 72 = 864 = 24 × 36 ✓
Soru 2: 3x − 7 = 2x + 5 denklemini çözünüz.
Cevap: 3x − 2x = 5 + 7 → x = 12. Ç = {12}
Soru 3: |x − 4| ≤ 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Cevap: −3 ≤ x − 4 ≤ 3 → 1 ≤ x ≤ 7. Çözüm kümesi: [1, 7]
Soru 4: 2ˣ = 32 ise x kaçtır?
Cevap: 32 = 2⁵ olduğundan 2ˣ = 2⁵ → x = 5
Soru 5: √48 ifadesini sadeleştiriniz.
Cevap: √48 = √(16 × 3) = √16 × √3 = 4√3
Soru 6: x + 2y = 8 ve 3x − y = 3 denklem sistemini çözünüz.
Cevap: İkinci denklemden: y = 3x − 3. Birinci denkleme koyarsak: x + 2(3x − 3) = 8 → x + 6x − 6 = 8 → 7x = 14 → x = 2, y = 3. (x, y) = (2, 3)
Soru 7: Bir otobüs her 15 dakikada, diğeri her 20 dakikada bir geçiyor. Birlikte geçtikten sonra en erken kaç dakika sonra tekrar birlikte geçerler?
Cevap: EKOK(15, 20) = ? 15 = 3 × 5, 20 = 2² × 5. EKOK = 2² × 3 × 5 = 60 dakika sonra tekrar birlikte geçerler.
Soru 8: a/b = 3/5 ve a + b = 40 ise a ve b değerlerini bulunuz.
Cevap: a/b = 3/5 → a = 3k, b = 5k. a + b = 3k + 5k = 8k = 40 → k = 5. a = 15, b = 25
Soru 9: −3x + 6 ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Cevap: −3x ≥ −6 → x ≤ 2 (negatifle böldük, yön değişti). Çözüm kümesi: (−∞, 2]
Soru 10: (2³ × 2⁴) / 2⁵ işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: Pay: 2³ × 2⁴ = 2⁷. Sonuç: 2⁷ / 2⁵ = 2² = 4
📋 Konu Özeti
- Sayı kümeleri: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ; İrrasyonel sayılar (ℚ’) da ℝ’nin parçası
- EBOB: ortak asal çarpanların küçük kuvvetleri; EKOK: tüm asal çarpanların büyük kuvvetleri
- Periyodik problemlerde EKOK kullanılır
- Aralık: açık (a,b), kapalı [a,b], yarı açık [a,b) veya (a,b]
- Eşitsizlikte negatif sayıyla çarpma/bölme → yön değişir!
- |x| = a → x = ±a; |x| < a → −a < x < a; |x| > a → x < −a veya x > a
- Üslü: aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ, (aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ, a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- Köklü: √a = a^(1/2), √a × √b = √(ab), √(a²) = |a|
- Doğru orantı: x/y = k; Ters orantı: x × y = k
0 Yorum