8. Sınıf Matematik Üçgenler Konu Anlatımı

📐 8. Sınıf Matematik – Üçgenler Konu Anlatımı

Üçgenlerin temel özellikleri, açı-kenar bağıntıları, alan hesaplama yöntemleri ve LGS'ye yönelik soru stratejileri bu sayfada!

📌 Üçgen Nedir?

Üçgen, aynı doğru üzerinde olmayan üç noktanın birleştirilmesiyle oluşan kapalı düzlemsel şekildir. Her üçgenin:

3 köşesi (A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir)
3 kenarı (a, b, c gibi küçük harflerle veya [AB], [BC], [AC] şeklinde gösterilir)
3 iç açısı vardır ve iç açılar toplamı daima 180° dir

Önemli: Bir köşenin karşısındaki kenar, o köşenin küçük harfiyle adlandırılır. Örneğin A köşesinin karşısındaki kenar “a” kenarıdır.

📏 Üçgen Eşitsizliği

Bir üçgenin oluşabilmesi için kenarlar arasında belirli kurallar geçerlidir:

Üçgen Eşitsizliği Kuralı

Herhangi iki kenarın toplamı, üçüncü kenardan büyük olmalıdır.
|a − b| < c < a + b

Örnek: Kenarları 3, 5 ve x olan bir üçgen oluşturulabilmesi için:

|5 − 3| < x < 5 + 3
2 < x < 8
x tam sayı ise: x ∈ {3, 4, 5, 6, 7}

Örnek 2: 4 cm, 7 cm ve 12 cm uzunluğundaki çubuklarla üçgen oluşturulabilir mi?

4 + 7 = 11 < 12 → Hayır, üçgen oluşturulamaz! Çünkü iki kenarın toplamı üçüncü kenardan küçüktür.

🔺 Üçgen Türleri

Kenarlarına Göre Üçgenler

Tür	Kenar Özelliği	Açı Özelliği
Eşkenar Üçgen	3 kenar eşit	3 açı = 60°
İkizkenar Üçgen	2 kenar eşit	Eşit kenarların karşı açıları eşit
Çeşitkenar Üçgen	3 kenar farklı	3 açı farklı

Açılarına Göre Üçgenler

Tür	Açı Özelliği	Kenar Bağıntısı
Dar Açılı	3 açı < 90°	c² < a² + b²
Dik Açılı	1 açı = 90°	c² = a² + b² (Pisagor)
Geniş Açılı	1 açı > 90°	c² > a² + b²

📐 Açı-Kenar Bağıntıları

Temel Kural:

Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur.

Örnek: ABC üçgeninde A = 40°, B = 60°, C = 80° ise kenarlar arasındaki sıralama:

En büyük açı C = 80° → karşı kenar c (en büyük kenar)
Orta açı B = 60° → karşı kenar b (orta kenar)
En küçük açı A = 40° → karşı kenar a (en küçük kenar)
Sıralama: a < b < c

Üçgenin Dış Açıları

Bir dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir
Bir üçgenin dış açılar toplamı = 360°
Bir iç açı ile ona komşu dış açının toplamı = 180°

Örnek: ABC üçgeninde A = 50°, B = 70° ise C açısının dış açısı kaç derecedir?

C iç açısı = 180° − 50° − 70° = 60°
C dış açısı = 180° − 60° = 120°
Veya doğrudan: C dış açısı = A + B = 50° + 70° = 120°

📏 Üçgende Alan Hesaplama

Temel Alan Formülü

Alan = (taban × yükseklik) / 2

A = (a × hₐ) / 2

Önemli: Yükseklik, tabana dik olan mesafedir. Her üçgende 3 farklı taban-yükseklik çifti kullanılabilir ve hepsi aynı alanı verir.

Özel Durumlar

Üçgen Türü	Alan Formülü
Dik Üçgen	A = (dik kenar₁ × dik kenar₂) / 2
Eşkenar Üçgen	A = (a² × √3) / 4

Örnek: Tabanı 10 cm, yüksekliği 6 cm olan üçgenin alanı:
A = (10 × 6) / 2 = 30 cm²

Örnek: Dik kenarları 8 cm ve 5 cm olan dik üçgenin alanı:
A = (8 × 5) / 2 = 20 cm²

🔷 Pisagor Bağıntısı

Pisagor Teoremi (Sadece Dik Üçgenlerde)

Hipotenüs² = Dik kenar₁² + Dik kenar₂²

Hipotenüs, dik açının karşısındaki kenar olup üçgenin en uzun kenarıdır.

Pisagor Üçlüleri (Ezberlenmeli!)

Dik Kenarlar	Hipotenüs	Katları
3, 4	5	6-8-10, 9-12-15, 12-16-20
5, 12	13	10-24-26
8, 15	17	—
7, 24	25	—

Örnek: Dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan dik üçgende hipotenüs:
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → c = 10 cm

Ters Kullanım: Hipotenüsü 13 cm, bir dik kenarı 5 cm olan dik üçgenin diğer kenarı:
b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144 → b = 12 cm

📐 Üçgende Yardımcı Elemanlar

Kenarortay

Bir kenarın orta noktasını karşı köşeye birleştiren doğru parçasıdır. Her üçgenin 3 kenarortayı vardır ve bunlar ağırlık merkezinde kesişir.

Ağırlık merkezi, her kenarortayı 2:1 oranında böler (köşeye yakın kısım uzun)
Kenarortay, üçgeni eşit alanlı iki üçgene böler

Açıortay

Bir açıyı iki eşit parçaya bölen ışındır.

Üç açıortay, üçgenin iç teğet çember merkezinde (iç merkez) kesişir
Açıortay, karşı kenarı komşu kenarlarla orantılı olarak böler

Kenar Orta Dikme

Bir kenarın orta noktasından kenara dik çizilen doğrudur.

Üç kenar orta dikmesi, çevrel çember merkezinde kesişir
Bu merkez, üç köşeye eşit uzaklıktadır

⚠️ Sık Yapılan Hatalar

Hata	Doğrusu
Pisagor'u her üçgene uygulamak	Sadece dik üçgenlerde geçerli!
Yüksekliği kenar sanmak	Yükseklik tabana dik uzaklıktır, kenar değildir
3, 5, 9 kenarlarıyla üçgen çizmek	3 + 5 = 8 < 9 → üçgen eşitsizliğini sağlamaz
Dış açıyı iç açıyla karıştırmak	Dış açı = 180° − iç açı
Kenarortay ile açıortayı karıştırmak	Kenarortay: kenarı ortalar, Açıortay: açıyı ortalar

✍️ Pratik Sorular

Soru 1: Kenarları 5, 8 ve x olan üçgende x kaç farklı tam sayı değeri alabilir?

|8 − 5| < x < 8 + 5
3 < x < 13
x ∈ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} → 9 farklı değer

Soru 2: ABC üçgeninde A = 35°, B açısının dış açısı 110° ise C açısı kaç derecedir?

B iç açısı = 180° − 110° = 70°
C = 180° − 35° − 70° = 75°

Soru 3: Bir dik üçgenin hipotenüsü 25 cm, bir dik kenarı 7 cm ise alanı kaç cm² dir?

Diğer dik kenar: b² = 25² − 7² = 625 − 49 = 576 → b = 24 cm
Alan = (7 × 24) / 2 = 84 cm²

Soru 4: Kenarları 6, 10, 8 cm olan üçgen hangi tür üçgendir?

En uzun kenar = 10 cm
10² = 100, 6² + 8² = 36 + 64 = 100
c² = a² + b² → Dik açılı üçgendir (Pisagor üçlüsü: 6-8-10)

Soru 5: Eşkenar üçgenin bir kenarı 12 cm ise çevresi ve yüksekliği kaçtır?

Çevre = 3 × 12 = 36 cm
Yükseklik = (a × √3) / 2 = (12 × √3) / 2 = 6√3 cm (yaklaşık 10,39 cm)

🎯 Hızlı Özet

Üçgenin iç açılar toplamı = 180°, dış açılar toplamı = 360°
Üçgen eşitsizliği: |a − b| < c < a + b
Büyük açının karşısında büyük kenar bulunur
Dış açı = komşu olmayan iki iç açının toplamı
Alan = (taban × yükseklik) / 2
Pisagor: c² = a² + b² (sadece dik üçgende)
Pisagor üçlüleri: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
Kenarortay: kenarı ortalar, ağırlık merkezinde kesişir (2:1)
Açıortay: açıyı ortalar, iç teğet çember merkezinde kesişir

📝 Konuyu anladın mı? Şimdi kendini test et!

Üçgenler Testine Başla →