8. Sınıf Matematik Doğrusal Denklemler Konu Anlatımı

📐 8. Sınıf Matematik – Doğrusal Denklemler Konu Anlatımı

Doğrusal denklemler, cebirsel ifadelerin eşitlik halinde yazılmasıdır. LGS sınavında denklem kurma ve çözme soruları her yıl gelir. Bu konuyu sağlam öğrenmek, problemlerin %80'ini çözmenizi kolaylaştırır!

📌 Denklem Nedir?

İçinde bilinmeyen (x, y gibi) bulunan eşitliklere denklem denir.

3x + 5 = 20 → Bu bir denklemdir (bilinmeyen: x)

Denklemin Çözümü: Denklemi doğru yapan bilinmeyen değerine denklemin kökü denir.

3x + 5 = 20 → 3x = 15 → x = 5 (kök)

Doğrusal Denklem

Bilinmeyenin en büyük kuvvetinin 1 olduğu denklemlere doğrusal (birinci dereceden) denklem denir:

2x + 3 = 11 → Doğrusal ✅ (x'in kuvveti 1)
x² + 2x = 5 → Doğrusal değil ❌ (x'in kuvveti 2)
4y – 7 = 2y + 1 → Doğrusal ✅

🔧 Bir Bilinmeyenli Denklem Çözme

Temel Kurallar:

Eşitliğin iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya çıkarılabilir
Eşitliğin iki tarafı aynı sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir (0 hariç)
Bir terim eşitliğin diğer tarafına geçerken işareti değişir

Adım Adım Çözüm

Örnek 1: 5x – 3 = 2x + 12

Adım 1: Bilinmeyenleri bir tarafa topla → 5x – 2x = 12 + 3

Adım 2: Sadeleştir → 3x = 15

Adım 3: x'i yalnız bırak → x = 15 ÷ 3 = 5

Doğrulama: 5(5) – 3 = 22, 2(5) + 12 = 22 ✅

Örnek 2: 3(x + 4) = 2(x – 1) + 25

Adım 1: Parantezleri aç → 3x + 12 = 2x – 2 + 25

Adım 2: Sağ tarafı sadeleştir → 3x + 12 = 2x + 23

Adım 3: Bilinmeyenleri topla → 3x – 2x = 23 – 12

Adım 4: → x = 11

Örnek 3 (Kesirli): x/2 + x/3 = 10

Adım 1: Paydaların OKEK'i = 6, her terimi 6 ile çarp → 3x + 2x = 60

Adım 2: → 5x = 60

Adım 3: → x = 12

💡 Kısa Yol: Kesirli denklemlerde ilk iş: tüm terimleri paydaların OKEK'i ile çarp. Böylece kesirlerden kurtulursun!

📊 İki Bilinmeyenli Doğrusal Denklem Sistemi

İki bilinmeyenli iki denklem varsa, bunları aynı anda çözmek gerekir. Üç yöntem vardır:

Yöntem 1: Yerine Koyma (Substitution)

Örnek: x + y = 10 ve 2x – y = 5

1. denklemden: y = 10 – x

2. denkleme koy: 2x – (10 – x) = 5 → 2x – 10 + x = 5 → 3x = 15 → x = 5

y = 10 – 5 = y = 5

Yöntem 2: Yok Etme (Elimination)

Örnek: 3x + 2y = 16 ve x – 2y = 0

İki denklemi topla (y'ler yok olsun):

(3x + 2y) + (x – 2y) = 16 + 0 → 4x = 16 → x = 4

x = 4 → 4 – 2y = 0 → 2y = 4 → y = 2

Yöntem 3: Grafik Yöntemi

Her iki denklemin grafiğini çiz. Kesişim noktası denklem sisteminin çözümüdür.

⚠️ LGS İpucu: Sınavda genellikle yok etme yöntemi daha hızlıdır. Katsayıları eşitleyip topla veya çıkar!

🧩 Sözel Problemlerde Denklem Kurma

LGS'de en çok sorulan soru tipi! Adım adım strateji:

Bilinmeyeni belirle: Ne soruluyorsa onu x (veya y) olarak adlandır
Verileri denklem olarak yaz: Problemi cebirsel ifadeye çevir
Denklemi çöz
Cevabı kontrol et: Bulduğun değeri probleme geri koy

Örnek Problem: Bir sayının 3 katının 7 fazlası 28'dir. Bu sayı kaçtır?

Bilinmeyen: x = sayı

Denklem: 3x + 7 = 28

Çözüm: 3x = 21 → x = 7

Kontrol: 3(7) + 7 = 21 + 7 = 28 ✅

Örnek Problem: Bir baba, oğlundan 24 yaş büyüktür. 6 yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katı olacaktır. Oğlun şimdiki yaşı kaçtır?

Bilinmeyen: x = oğlun şimdiki yaşı → baba = x + 24

6 yıl sonra: oğul = x + 6, baba = x + 30

Denklem: x + 30 = 3(x + 6)

Çözüm: x + 30 = 3x + 18 → 30 – 18 = 3x – x → 12 = 2x → x = 6

Kontrol: Oğul: 6, Baba: 30. 6 yıl sonra: Oğul: 12, Baba: 36. 36 = 3×12 ✅

📈 Doğrunun Denklemi (y = ax + b)

Koordinat düzleminde bir doğrunun denklemi y = ax + b şeklindedir:

Bileşen	Anlamı	Örnek (y = 2x + 3)
a (eğim)	Doğrunun yataya göre eğikliği	a = 2 (yukarı doğru eğimli)
b (sabit)	Doğrunun y eksenini kestiği nokta	b = 3 (y eksenini (0, 3) noktasında keser)

Eğim özellikleri:

a > 0: Doğru sağa doğru yükselir (artan)
a < 0: Doğru sağa doğru düşer (azalan)
a = 0: Doğru yatay (y = b, x eksenine paralel)

İki noktadan eğim hesaplama:

a = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)

Örnek: (1, 5) ve (3, 11) noktalarından geçen doğrunun denklemi?

Eğim: a = (11 – 5) / (3 – 1) = 6/2 = 3

y = 3x + b → (1, 5) noktasını koy: 5 = 3(1) + b → b = 2

Denklem: y = 3x + 2

🧠 Pratik Sorular

Soru 1: 4(x – 3) + 5 = 2x + 1 denkleminin çözümü nedir?

Cevap: 4x – 12 + 5 = 2x + 1 → 4x – 7 = 2x + 1 → 2x = 8 → x = 4

Soru 2: x + y = 15 ve x – y = 3 ise x ve y değerleri nedir?

Cevap: Topla: 2x = 18 → x = 9. Yerine koy: 9 + y = 15 → y = 6. Çözüm: x = 9, y = 6

Soru 3: y = -2x + 7 doğrusu y eksenini hangi noktada keser?

Cevap: y ekseninde x = 0 → y = -2(0) + 7 = 7. Kesim noktası: (0, 7)

Soru 4: Ardışık üç tek sayının toplamı 57 ise en büyük sayı kaçtır?

Cevap: Sayılar: x, x+2, x+4. Toplam: 3x + 6 = 57 → 3x = 51 → x = 17. En büyük: 17 + 4 = 21

⚡ Sık Yapılan Hatalar

❌ Tarafa geçerken işaret değiştirmemek → +5 karşıya -5 olarak geçer!
❌ Parantez açarken dağıtmayı unutmak → -2(x + 3) = -2x – 6, -2x + 6 değil!
❌ Kesirli denklemlerde OKEK'i yanlış almak
❌ Denklem sisteminde yanlış denklemi kullanmak
❌ Eğim formülünde x ve y'leri karıştırmak → Pay: y farkı, Payda: x farkı

📋 Hızlı Özet

Denklem: Bilinmeyen içeren eşitlik
Çözüm yöntemi: Bilinmeyenleri bir tarafa, sayıları diğer tarafa topla
Denklem sistemi: Yerine koyma veya yok etme yöntemi
Doğru denklemi: y = ax + b (a=eğim, b=sabit)
Eğim: (y₂-y₁)/(x₂-x₁)
Problem çözme: Bilinmeyeni belirle → Denklem kur → Çöz → Kontrol et

📐 Doğrusal denklemleri öğrendin mi? Şimdi kendini test et!

Doğrusal Denklemler Testine Başla →