Rasyonel Sayılar Konu Anlatımı – 7. Sınıf Matematik

Rasyonel sayı, a ve b birer tam sayı olmak üzere a/b (b ≠ 0) şeklinde yazılabilen sayılara denir. Yani iki tam sayının oranı olarak gösterilebilen her sayı rasyonel sayıdır.

Sayı kümeleri birbirini kapsayacak şekilde düzenlenmiştir:

Kapsama ilişkisi: N ⊂ Z ⊂ Q (Doğal sayılar, tam sayıların; tam sayılar da rasyonel sayıların alt kümesidir.)

LGS İpucu: “Her tam sayı bir rasyonel sayıdır” ifadesi DOĞRUDUR. Ama “Her rasyonel sayı bir tam sayıdır” ifadesi YANLIŞTIR. Örneğin 1/2 rasyonel sayıdır ama tam sayı değildir.

Kesir Olarak Gösterim

Rasyonel sayılar a/b biçiminde gösterilir. Burada:

• a = Pay (üstteki sayı)
• b = Payda (alttaki sayı, sıfır olamaz!)
• Kesir çizgisi = Bölme işlemini gösterir

Denk Kesirler

Pay ve paydasına aynı sayı ile çarpılan veya bölünen kesirlere denk kesirler denir. Denk kesirler aynı rasyonel sayıyı gösterir.

Sadeleştirme

Bir kesrin pay ve paydasını ortak bölenlerine bölmeye sadeleştirme denir. Pay ve paydanın EBOB’una bölünmesiyle en sade hali bulunur.

Örnek: 12/18 kesrini sadeleştirelim.
EBOB(12, 18) = 6
12 ÷ 6 = 2, 18 ÷ 6 = 3
Sonuç: 12/18 = 2/3

Genişletme

Bir kesrin pay ve paydasını aynı sayı ile çarpmaya genişletme denir. Paydaları eşitlemek için kullanılır.

Örnek: 2/3 kesrini paydası 15 olacak şekilde genişletelim.
15 ÷ 3 = 5 (çarpan)
2 × 5 = 10, 3 × 5 = 15
Sonuç: 2/3 = 10/15

Her rasyonel sayı, sayı doğrusu üzerinde bir noktayla gösterilebilir. Rasyonel sayıları sayı doğrusuna yerleştirirken şu adımları izleriz:

Sayı Doğrusuna Yerleştirme Adımları

1. Kesrin işaretini belirle: Pozitif ise sağa, negatif ise sola yerleştir.
2. Tam kısmı bul: Bileşik kesirden tam sayı kısmını belirle.
3. Payda kadar eşit parçaya böl: Ardışık iki tam sayı arasını paydaya göre böl.
4. Pay kadar ilerle: Payın gösterdiği kadar parça ilerle.

Örnek: 7/4 sayısını sayı doğrusuna yerleştirelim.
7/4 = 1 3/4 (tam kısmı 1, kesir kısmı 3/4)
1 ile 2 arasını 4 eşit parçaya böleriz. 1’den itibaren 3 parça ilerleriz.
Sonuç: 7/4, sayı doğrusunda 1 ile 2 arasında, 2’ye daha yakındır.

Örnek: -5/3 sayısını sayı doğrusuna yerleştirelim.
-5/3 = -1 2/3 (negatif olduğu için sola)
-1 ile -2 arasını 3 eşit parçaya böleriz. -1’den sola 2 parça ilerleriz.
Sonuç: -5/3, sayı doğrusunda -1 ile -2 arasında, -2’ye daha yakındır.

İki rasyonel sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır. İki rasyonel sayı arasındaki rasyonel sayıları bulmak için:

• Paydaları eşitle
• Eşitlenmiş paydalar arasında sayı yoksa, paydayı 2, 3, 4… ile genişlet
• Genişletilmiş paylar arasındaki sayıları yaz

Örnek: 1/3 ile 2/3 arasındaki rasyonel sayıları bulalım.
Paydalar eşit (3), aralarında 1/3’ten başka tam sayı payı yok. Genişletelim:
1/3 = 2/6 ve 2/3 = 4/6 → Aralarında: 3/6 = 1/2
Daha fazla istiyorsak: 1/3 = 3/9 ve 2/3 = 6/9 → Aralarında: 4/9, 5/9

LGS İpucu: “İki rasyonel sayı arasında kaç tane rasyonel sayı vardır?” sorusunun cevabı her zaman sonsuztur. Paydayı genişlettikçe yeni rasyonel sayılar bulunur.

Kural 1: Paydaları Eşit Olan Kesirler

Paydalar eşitse, paylar toplanır veya çıkarılır. Payda değişmez.

Kural 2: Paydaları Farklı Olan Kesirler

Paydalar farklıysa önce paydaları eşitlememiz gerekir. Bunun için paydaların EKOK‘u (en küçük ortak katı) bulunur.

Örnek 1: 2/3 + 1/4 = ?
EKOK(3, 4) = 12
2/3 = 8/12 (2×4=8, 3×4=12)
1/4 = 3/12 (1×3=3, 4×3=12)
8/12 + 3/12 = 11/12

Örnek 2: 5/6 – 1/4 = ?
EKOK(6, 4) = 12
5/6 = 10/12 (5×2=10, 6×2=12)
1/4 = 3/12 (1×3=3, 4×3=12)
10/12 – 3/12 = 7/12

Örnek 3: -3/8 + 5/6 = ?
EKOK(8, 6) = 24
-3/8 = -9/24 (-3×3=-9, 8×3=24)
5/6 = 20/24 (5×4=20, 6×4=24)
-9/24 + 20/24 = 11/24

Kural 3: Tam Sayı ile Kesir Toplama/Çıkarma

Tam sayıyı paydası 1 olan kesir gibi yazarak işlem yapılır.

Örnek: 3 + 2/5 = ?
3 = 3/1 = 15/5
15/5 + 2/5 = 17/5 = 3 2/5

Sık Yapılan Hata: Paydaları farklı olan kesirleri toplarken payları VE paydaları ayrı ayrı toplamak yanlıştır! 1/2 + 1/3 ≠ 2/5. Doğrusu: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6

Çarpma İşlemi

İki kesri çarpmak için paylar kendi aralarında, paydalar kendi aralarında çarpılır.

Formül: a/b × c/d = (a×c) / (b×d)

Çarpmada İşaret Kuralları

Bölme İşlemi

Bir kesri diğerine bölmek için bölen kesrin tersini alıp çarparız.

Formül: a/b ÷ c/d = a/b × d/c (ters çevir ve çarp)

LGS İpucu: Bölme işleminde yalnızca bölen (ikinci kesir) ters çevrilir, bölünen (birinci kesir) olduğu gibi kalır. Çarpma işleminde sonucu mutlaka sadeleştirmeyi unutma!

Paydaları Eşit Kesirleri Karşılaştırma

Paydalar eşitse, payı büyük olan kesir daha büyüktür.

Örnek: 3/7 ile 5/7 arasında hangisi büyüktür?
Paydalar eşit (7). 5 > 3 olduğundan 5/7 > 3/7

Payları Eşit Kesirleri Karşılaştırma

Paylar eşitse, paydası küçük olan kesir daha büyüktür.

Örnek: 3/5 ile 3/8 arasında hangisi büyüktür?
Paylar eşit (3). 5 < 8 olduğundan 3/5 > 3/8
(Bir pastayı 5 parçaya bölmek, 8 parçaya bölmekten daha büyük dilim verir)

Paydaları Farklı Kesirleri Karşılaştırma

Paydalar farklıysa, önce paydaları eşitleyip payları karşılaştırırız.

Örnek: 2/3 ile 3/5 arasında hangisi büyüktür?
EKOK(3, 5) = 15
2/3 = 10/15 ve 3/5 = 9/15
10 > 9 olduğundan 2/3 > 3/5

Çapraz Çarpım Yöntemi (Kısa Yol)

İki kesri karşılaştırmak için çapraz çarpım yapılabilir:

a/b ile c/d karşılaştırılıyor:
a × d ile b × c karşılaştır:
– Eğer a×d > b×c ise a/b > c/d
– Eğer a×d < b×c ise a/b < c/d
– Eğer a×d = b×c ise a/b = c/d

Örnek: 3/7 ile 4/9 → 3×9=27 ile 7×4=28 → 27 < 28 → 3/7 < 4/9

Negatif Rasyonel Sayıları Karşılaştırma

Kesirden Ondalık Gösterime

Bir kesri ondalık gösterime çevirmek için pay, paydaya bölünür:

Ondalık Gösterimden Kesire

Sonlu ondalık sayıları kesre çevirmek için:

• Virgülden sonraki basamak sayısı kadar 10’un kuvveti paydaya yazılır
• Virgül kaldırılıp elde edilen sayı paya yazılır

Örnekler:
0,3 = 3/10 (1 basamak → payda 10)
0,25 = 25/100 = 1/4 (2 basamak → payda 100)
0,125 = 125/1000 = 1/8 (3 basamak → payda 1000)
1,6 = 16/10 = 8/5 (tam kısmı da dahil et)

LGS İpucu: Paydası 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 50, 100 gibi sayılar olan kesirler sonlu ondalık sayıya çevrilir. Paydası sadece 2 ve 5’in kuvvetlerinden oluşan kesirler sonlu ondalıktır.

LGS’de rasyonel sayılarla ilgili sorular genellikle birden fazla işlemi bir arada içerir. İşlem önceliği kuralını (PEMDAS/BODMAS) uygulamamız gerekir.

İşlem Önceliği

1. Parantez içindeki işlemler önce yapılır
2. Çarpma ve bölme işlemleri (soldan sağa)
3. Toplama ve çıkarma işlemleri (soldan sağa)

Örnek 1: 1/2 + 3/4 × 2/3 = ?

Önce çarpma: 3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2
Sonra toplama: 1/2 + 1/2 = 1

Örnek 2: (2/3 + 1/6) × 3/5 = ?

Önce parantez: 2/3 + 1/6 = 4/6 + 1/6 = 5/6
Sonra çarpma: 5/6 × 3/5 = 15/30 = 1/2

Örnek 3: 3/4 ÷ (1/2 – 1/4) + 1 = ?

Önce parantez: 1/2 – 1/4 = 2/4 – 1/4 = 1/4
Sonra bölme: 3/4 ÷ 1/4 = 3/4 × 4/1 = 12/4 = 3
Son olarak toplama: 3 + 1 = 4

Örnek 4: Bir bidonun 2/5’i dolu. İçine 3/10 bidon daha su ekleniyor. Bidonun ne kadarı dolu olur?

2/5 + 3/10 = 4/10 + 3/10 = 7/10
Bidonun 7/10’u dolu olur.