Olasılık Konu Anlatımı – 7. Sınıf Matematik

Deney ve Sonuç

Deney: Sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen, tekrarlanabilen işleme denir. Zar atma, para atma, torbadan top çekme birer deneydir.

Sonuç: Bir deneyin her bir çıktısına sonuç denir. Örneğin zar atma deneyinin sonuçları 1, 2, 3, 4, 5, 6’dır.

Örnek Uzay (S)

Örnek uzay, bir deneyde elde edilebilecek tüm sonuçların kümesidir. S harfi ile gösterilir.

Olay (A)

Olay, örnek uzayın alt kümesidir. İstediğimiz durumların kümesine olay denir ve genellikle A, B, C gibi harflerle gösterilir.

Örnek: Bir zar atıldığında çift sayı gelme olayı:

A = {2, 4, 6} → n(A) = 3

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S) = 6

Temel Olasılık Formülü

Bu formül, tüm sonuçların eşit olasılıklı olduğu durumlarda kullanılır. Formülü kullanmak için:

1. Örnek uzayı belirle → n(S) bul
2. İstenen olayı belirle → n(A) bul
3. Bölme işlemi yap → P(A) = n(A) / n(S)

Olasılık Değer Aralığı

Bir olayın olasılığı her zaman 0 ile 1 arasındadır (0 ve 1 dahil):

Kritik Bilgi: P(A) < 0 veya P(A) > 1 olan bir olasılık olamaz! Hesaplamanızda böyle bir sonuç çıkıyorsa hata yapmışsınızdır.

Bir Zar Atma

Bir zarın 6 yüzü vardır: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Her yüzün gelme olasılığı eşittir: 1/6

LGS İpucu: Zar sorularında 1 sayısına dikkat! 1 ne çift ne de asaldır. 1 tek sayıdır, asal değildir. Bu detay sınavda karıştırılır.

İki Zar Atma

İki zar atıldığında toplam 6 x 6 = 36 farklı sonuç oluşur. Her bir sonuç (a, b) şeklinde gösterilir.

Toplam ile ilgili olasılıklar:

Ezberle: İki zarda en çok gelen toplam 7‘dir (6 farklı yol). En az gelen toplamlar 2 ve 12‘dir (1’er yol). Toplam 7 etrafında simetrik dağılım vardır.

Bir Para Atma

Bir paranın iki yüzü vardır: Yazı (Y) ve Tura (T). Her birinin gelme olasılığı eşittir: 1/2

Birden Fazla Para Atma

n tane para atıldığında toplam sonuç sayısı 2^n olur:

Uygulama: 3 para atılıyor. En az 2 tura gelme olasılığı nedir?

Çözüm:
n(S) = 2^3 = 8
En az 2 tura = 2 tura veya 3 tura
2 tura: {TTY, TYT, YTT} → 3 yol
3 tura: {TTT} → 1 yol
n(A) = 3 + 1 = 4
P(A) = 4/8 = 1/2

Temel Yaklaşım

Torbadan top çekme problemlerinde toplam top sayısı n(S), istenen renkteki top sayısı n(A) olur.

Örnek 1: Bir torbada 4 kırmızı, 3 mavi, 2 yeşil ve 1 sarı top vardır. Rastgele bir top çekildiğinde:

Torbaya Top Ekleme/Çıkarma Problemleri

LGS’de sıkça torbaya top ekleme veya çıkarma ile olasılık değiştirme soruları gelir.

Örnek 2: Bir torbada 6 kırmızı ve 4 mavi top vardır. Torbaya kaç kırmızı top eklenirse kırmızı top çekme olasılığı 3/4 olur?

Çözüm:
x tane kırmızı top eklensin.
Kırmızı sayısı: 6 + x
Toplam: 10 + x
P(kırmızı) = (6 + x) / (10 + x) = 3/4
4(6 + x) = 3(10 + x)
24 + 4x = 30 + 3x
x = 6
Torbaya 6 kırmızı top eklenmeli.

Örnek 3: Bir torbada 8 kırmızı ve 12 mavi top var. Torbadan kaç mavi top çıkarılırsa kırmızı çekme olasılığı 2/3 olur?

Çözüm:
x tane mavi top çıkarılsın.
Kırmızı sayısı: 8 (değişmez)
Toplam: 20 – x
P(kırmızı) = 8 / (20 – x) = 2/3
3 · 8 = 2 · (20 – x)
24 = 40 – 2x
2x = 16
x = 8
Torbadan 8 mavi top çıkarılmalı.

Tamamlayıcı Olay Kuralı

Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme olasılığının toplamı her zaman 1‘dir.

Bu kural, “olmama” olasılığını bulmak için çok kullanışlıdır. Özellikle “en az bir” veya “en az” ifadesi geçen sorularda tamamlayıcı olay kullanmak işlemi kolaylaştırır.

Örnek: Bir zar atıldığında asal sayı gelme olasılığı 1/2 ise asal sayı gelmeme olasılığı kaçtır?

P(asal gelmeme) = 1 – P(asal gelme) = 1 – 1/2 = 1/2

Zor Örnek: İki zar atılıyor. Toplamın 7’den farklı olma olasılığı nedir?

P(toplam = 7) = 6/36 = 1/6
P(toplam ≠ 7) = 1 – 1/6 = 5/6

LGS Stratejisi: Soruda “…olmama”, “…dışında”, “en az bir” gibi ifadeler varsa tamamlayıcı olay kullan! Direkt hesaplamak zor olan durumları tersten hesaplamak daha kolaydır.

Olasılığı Farklı Şekillerde İfade Etme

Olasılık kesir, ondalık sayı veya yüzde olarak ifade edilebilir:

Hatırla: LGS’de olasılık genellikle sadeleştirilmiş kesir olarak sorulur. Cevabınızı mutlaka sadeleştirin! 3/6 yerine 1/2 yazın.

Problem 1: Harf Seçme

“MATEMATİK” kelimesinin harflerinden rastgele biri seçiliyor. Sesli harf gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm:
MATEMATİK → M, A, T, E, M, A, T, İ, K → 9 harf
Sesli harfler: A, E, A, İ → 4 tanesi sesli
P(sesli) = 4/9
Cevap: 4/9

Problem 2: Sayı Kartları

1’den 20’ye kadar numaralı kartlardan rastgele biri çekiliyor. Çekilen kartın 3’ün katı olma olasılığı kaçtır?

Çözüm:
n(S) = 20 (1’den 20’ye kadar kartlar)
3’ün katları: 3, 6, 9, 12, 15, 18 → n(A) = 6
P(A) = 6/20 = 3/10

Problem 3: Eşit Olasılık

Bir torbada x tane kırmızı ve 8 mavi top var. Rastgele çekilen topun kırmızı olma olasılığı 3/7 ise x kaçtır?

Çözüm:
P(kırmızı) = x / (x + 8) = 3/7
7x = 3(x + 8)
7x = 3x + 24
4x = 24
x = 6

Problem 4: Çark Çevirme

Eşit bölmelere ayrılmış bir çark 8 bölmeden oluşuyor. 3 bölme kırmızı, 2 bölme mavi, 2 bölme yeşil, 1 bölme sarı. Çark çevrildiğinde okun kırmızı veya yeşil bölmede durma olasılığı kaçtır?

Çözüm:
n(S) = 8 bölme
Kırmızı veya yeşil: 3 + 2 = 5 bölme
P(kırmızı veya yeşil) = 5/8
Cevap: 5/8

Problem 5: İki Zarla İlgili

İki zar aynı anda atılıyor. Zarlardan birinin diğerinin 2 katı gelme olasılığı nedir?

Çözüm:
n(S) = 36
Biri diğerinin 2 katı olan durumlar:
(1,2), (2,1), (2,4), (4,2), (3,6), (6,3) → 6 durum
P(A) = 6/36 = 1/6

Sık Yapılan Hatalar

Hızlı Çözüm Teknikleri

• Tamamlayıcı olay: “…olmama” veya “en az” varsa P(A’) = 1 – P(A) kullan
• “veya” olan sorularda: İstenen durumların sayılarını topla: n(A veya B) = n(A) + n(B) (ayrık olaylarda)
• İki zar toplam tablosu: İki zar sorularında toplam tablosunu ezberlersen çok zaman kazanırsın
• Denklem kurma: “Olasılık 3/5 olması için…” tarzı sorularda P = n(A)/n(S) denklemini kur
• Sayı analizi: Soruyu okurken hemen n(S) değerini belirle, çözümün yarısı tamam

Ezberlenmesi Gereken Bilgiler