⚖️ Eşitsizlikler
7. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
📖 Eşitsizlik Nedir?
Eşitsizlik, iki ifade arasındaki büyükluk-küçükluk iliskışıni gösteren matematiksel bir ifadedir. Eşitlik (=) işareti yerine >, <, ≥ veya ≤ işaretleri kullanılır.
Günlük hayattan örnekler: “Dışarı cikabilmek için en az 18 yasinda olmalışın” (yas ≥ 18), “Bu sınıfta 30’dan az öğrenci var” (öğrenci < 30) gibi ifadeler birer eşitsizliktir.
Eşitsizlik İşaretleri
| İşaret | Okunusu | Örnek | Anlami |
|---|---|---|---|
| > | büyüktur | x > 5 | x, 5’ten büyüktur (5 dahil değil) |
| < | küçüktur | x < 3 | x, 3’ten küçüktur (3 dahil değil) |
| ≥ | büyük eşittir | x ≥ 7 | x, 7’ye eşit veya büyüktur (7 dahil) |
| ≤ | küçük eşittir | x ≤ 10 | x, 10’a eşit veya küçüktur (10 dahil) |
LGS İpucu: ≥ ve ≤ işaretlerinde altındaki çizgi “eşitlik” anlamına gelir. > ve < da ise o sayı dahil değildir.
📐 Eşitsizliklerin Temel Özellikleri
Özellik 1: Her İki Tarafa Ayni Sayı Ekleme veya Çıkarma
Eşitsizligin her iki tarafına aynı sayı eklenirse veya çıkarilirsa, eşitsizligin yönü değişmez.
| İşlem | Örnek | Sonuç |
|---|---|---|
| Her iki tarafa 3 ekle | x > 5 ise x + 3 > 5 + 3 | x + 3 > 8 (yon ayni) |
| Her iki taraftan 2 çıkar | x ≥ 7 ise x – 2 ≥ 7 – 2 | x – 2 ≥ 5 (yon ayni) |
Özellik 2: Pozitif Sayıyla Çarpma veya Bölme
Eşitsizligin her iki tarafı pozitif bir sayıyla çarpılır veya bölünürse, eşitsizligin yönü değişmez.
| İşlem | Örnek | Sonuç |
|---|---|---|
| Her iki tarafı 2 ile carp | x > 4 ise 2x > 8 | Yon aynı kaldi |
| Her iki tarafı 3’e bol | 3x ≤ 12 ise x ≤ 4 | Yon aynı kaldi |
Özellik 3: Negatif Sayıyla Çarpma veya Bölme (KRITIK!)
Eşitsizligin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpılır veya bölünürse, eşitsizligin YÖNÜ DEĞİŞIR!
| İşlem | Örnek | Sonuç |
|---|---|---|
| Her iki tarafı (-1) ile carp | x > 5 ise -x < -5 | > işareti < oldu! |
| Her iki tarafı (-2) ile carp | -2x > 6 ise x < -3 | > işareti < oldu! |
| Her iki tarafı (-3)’e bol | -3x ≤ 9 ise x ≥ -3 | ≤ işareti ≥ oldu! |
LGS’de EN ÇOK HATA YAPILAN KONU! Negatif sayıyla çarpma veya bölmede eşitsizlik yönünü değiştirmeyi unutmayın!
🔢 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
Denklemleri çözer gibi eşitsizlikleri de çözebiliriz. Amacımız bilinmeyeni (x) yalnız birakmaktir.
Örnek 1: 2x + 3 > 11
Adım 1: Her iki taraftan 3 çıkar
2x + 3 – 3 > 11 – 3
2x > 8
Adım 2: Her iki tarafı 2’ye böl (pozitif, yon değişmez)
x > 4
Sonuç: x, 4’ten büyük olan tum sayılardir. (4 dahil değil)
Örnek 2: -3x + 6 ≤ 15
Adım 1: Her iki taraftan 6 çıkar
-3x + 6 – 6 ≤ 15 – 6
-3x ≤ 9
Adım 2: Her iki tarafı (-3)’e böl (NEGATIF! Yon değişir!)
x ≥ -3
Sonuç: x, -3’e eşit veya büyük olan tum sayılardir. (-3 dahil)
Örnek 3: 5x – 7 < 3x + 9
Adım 1: x’li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa topla
5x – 3x < 9 + 7
2x < 16
Adım 2: Her iki tarafı 2’ye bol
x < 8
Sonuç: x, 8’den küçük olan tum sayılardir. (8 dahil değil)
Örnek 4: 4(x – 2) ≥ 2(x + 3)
Adım 1: Parantezi ac
4x – 8 ≥ 2x + 6
Adım 2: x’li terimleri sol tarafa, sabitleri sag tarafa topla
4x – 2x ≥ 6 + 8
2x ≥ 14
Adım 3: Her iki tarafı 2’ye bol
x ≥ 7
Sonuç: x, 7’ye eşit veya büyük olan tum sayılardir.
📊 Eşitsizliklerin Sayı Doğrusunda Gösterimi
Eşitsizliklerin çözüm kumesini sayı doğrusunda göstermek LGS’de sik sorulan bir konudur.
| Eşitsizlik | Sayı Doğrusunda Gösterim | Açıklama |
|---|---|---|
| x > a | a noktası bos daire + saga ok | a dahil değil, a’dan büyük değerler |
| x ≥ a | a noktası dolu daire + saga ok | a dahil, a ve daha büyük değerler |
| x < a | a noktası bos daire + sola ok | a dahil değil, a’dan küçük değerler |
| x ≤ a | a noktası dolu daire + sola ok | a dahil, a ve daha küçük değerler |
Kritik Fark: Bos daire (o) = o sayı dahil değil (> veya <). Dolu daire = o sayı dahil (≥ veya ≤).
🔢 Tam Sayı Çözümleri Bulma
LGS’de sik sorulan soru tipi: “Eşitsizligi sağlayan kaç tam sayı vardır?”
Örnek: -2 < x ≤ 5 eşitsizligini sağlayan kaç tam sayı vardır?
Çözüm:
x, -2’den büyük VE 5’e eşit veya küçük olmalidir.
-2 dahil değil (çünkü < işareti var), 5 dahil (çünkü ≤ işareti var).
Tam sayılar: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
Cevap: 7 tam sayı
Örnek: -3 ≤ x < 4 eşitsizligini sağlayan kaç tam sayı vardır?
Çözüm:
-3 dahil (≤), 4 dahil değil (<).
Tam sayılar: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
Cevap: 7 tam sayı
Hızlı Hesaplama Formülu
a < x < b ise tam sayı sayısı = b – a – 1
a ≤ x ≤ b ise tam sayı sayısı = b – a + 1
a < x ≤ b veya a ≤ x < b ise tam sayı sayısı = b – a
Kolay Hatırlatma: Her iki üç dahilse +1, her iki üç haricse -1, biri dahil biri haricse 0 ekle. (b – a) + düzeltme
📝 Eşitsizlik Problemleri
LGS’de eşitsizlik problemleri genelde günlük hayat durumları içinde sorulur. Problemi eşitsizlige çevirip çözmek gerekir.
Problem 1: Para Problemi
Ayşe’nin 120 TL’si var. Her gün 8 TL harcamaktadır. Ayşe’nin parası en fazla kaç gün yetecektir?
Çözüm:
x gün sonra kalan para: 120 – 8x
Para 0’dan büyük veya eşit olmalidir: 120 – 8x ≥ 0
-8x ≥ -120
x ≤ 15 (negatifle bolunce yon değişir)
Cevap: En fazla 15 gun
Problem 2: Not Hesaplama
Ali’nin matematik sınavlarindan aldigi notlar 72, 85 ve 68’dir. Dönem sonu ortalaması en az 75 olmasi için son sınavdan en az kaç almalidir?
Çözüm:
Ortalama = (72 + 85 + 68 + x) / 4 ≥ 75
(225 + x) / 4 ≥ 75
225 + x ≥ 300
x ≥ 75
Cevap: Son sınavdan en az 75 almalidir.
Problem 3: Yas Problemi
Bir babanin yasi, oğlunun yasinin 3 katıdır. Babanin yasi 50’den küçüktur. Oğlun yasinin en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Çözüm:
Oğlun yasi = x ise babanin yasi = 3x
3x < 50
x < 50/3
x < 16,66…
En büyük tam sayı: 16
⚠️ LGS’de Sik Yapılan Hatalar
| Yanlista | Doğrusu |
|---|---|
| -2x > 6 ise x > -3 | -2x > 6 ise x < -3 (yon değişir!) |
| x > 5 ise 5 dahildir | x > 5 ise 5 dahil değildir (bos daire) |
| x ≥ 5 ise 5 dahil değildir | x ≥ 5 ise 5 dahildir (dolu daire) |
| -3 < x < 4 ise 8 tam sayı var | -3 < x < 4 ise 6 tam sayı var (-2,-1,0,1,2,3) |
| Parantez acmayi unutmak | Öncelikle parantezi ac, sonra işlem yap |
📝 Konuyu Pekiştirelim
Soru 1: 3x – 5 > 10 eşitsizligini çözunuz.
3x – 5 > 10
3x > 10 + 5
3x > 15
x > 5
Cevap: x, 5’ten büyük olan tum sayılardir.
Soru 2: -4x + 8 ≤ 20 eşitsizligini çözunuz.
-4x + 8 ≤ 20
-4x ≤ 20 – 8
-4x ≤ 12
x ≥ -3 (negatifle bolunce yon değişir!)
Cevap: x ≥ -3 (-3 dahil)
Soru 3: 2(x + 3) < 5x – 6 eşitsizligini çözunuz.
2x + 6 < 5x – 6
2x – 5x < -6 – 6
-3x < -12
x > 4 (negatifle bolunce yon değişir!)
Cevap: x > 4
Soru 4: -1 ≤ x < 6 eşitsizligini sağlayan kaç tam sayı vardır?
-1 dahil (≤), 6 dahil değil (<).
Tam sayılar: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
Formüla: 6 – (-1) = 7 (bir üç dahil, biri haric: düzeltme = 0)
Cevap: 7 tam sayı
Soru 5: Bir sayının 3 kati ile 5’in farkı 7’den büyüktur. Bu sayının alabilecegi en küçük tam sayı değeri kaçtır?
3x – 5 > 7
3x > 12
x > 4
4 dahil değil, en küçük tam sayı: 5
📌 Konu Özeti
- Eşitsizlik işaretleri: > (büyüktur), < (küçüktur), ≥ (büyük eşittir), ≤ (küçük eşittir)
- Toplama/Çıkarma: Eşitsizlik yönü değişmez
- Pozitif sayıyla çarpma/bölme: Yon değişmez
- Negatif sayıyla çarpma/bölme: YON DEĞİŞIR!
- Sayı doğrusu: Bos daire = dahil değil (>, <), Dolu daire = dahil (≥, ≤)
- Tam sayı sayısı: Her iki üç dahil b-a+1, her iki üç haric b-a-1, karışık b-a
- Problemlerde: Ifadeyi eşitsizlige çevir, çöz, soruya gore cevap ver
Öğrendiklerini test etmeye hazır mışın?
0 Yorum