📚 Konu Anlatımı 👇 Teste Git✕+
📖 Dönüşüm Geometrisi
🔄 Dönüşüm Geometrisi
📊 Dönüşüm Türleri
- Öteleme: Şekli kaydırma
- Yansıma: Ayna görüntüsü
- Döndürme: Merkez etrafında çevirme
⚠️ Test İpucu: x-ekseni yansıma: (x,y)→(x,-y), y-ekseni: (x,y)→(-x,y)
🔄 Dönüşüm Geometrisi – 7. Sınıf Matematik
Öteleme, yansıma, dönme ve simetri konularını derinlemesine öğrenelim!
➡️ Öteleme (Translation)
Öteleme, bir şekli veya noktayı belirli bir yönde ve mesafede kaydırmaktır. Ötelemede şeklin boyutu, şekli ve yönü değişmez, sadece konumu değişir.
Öteleme Kuralı
A(x, y) → A'(x + a, y + b)
a: Yatay öteleme (sağa: +, sola: -)
b: Dikey öteleme (yukarı: +, aşağı: -)
Örnek 1: Basit Öteleme
Soru: A(3, 5) noktası sağa 4, yukarı 2 birim öteleniyor. Yeni koordinatı bulunuz.
Çözüm:
Sağa 4 birim: x + 4 = 3 + 4 = 7
Yukarı 2 birim: y + 2 = 5 + 2 = 7
Cevap: A'(7, 7)
Örnek 2: Sola ve Aşağı Öteleme
Soru: B(8, 6) noktası sola 3, aşağı 4 birim öteleniyor. Yeni koordinatı bulunuz.
Çözüm:
Sola 3 birim: x – 3 = 8 – 3 = 5
Aşağı 4 birim: y – 4 = 6 – 4 = 2
Cevap: B'(5, 2)
Örnek 3: Üçgen Ötelemesi
Soru: Köşeleri A(2, 1), B(4, 1), C(3, 4) olan üçgen sağa 3 birim öteleniyor. Yeni köşe koordinatları nedir?
Çözüm:
Her noktaya x + 3 uygularız (y değişmez çünkü sadece sağa)
A(2, 1) → A'(2 + 3, 1) = A'(5, 1)
B(4, 1) → B'(4 + 3, 1) = B'(7, 1)
C(3, 4) → C'(3 + 3, 4) = C'(6, 4)
Cevap: A'(5, 1), B'(7, 1), C'(6, 4)
💡 Önemli: Ötelemede şekil aynı kalır, sadece pozisyon değişir!
🪞 Yansıma (Reflection)
Yansıma, bir şekli veya noktayı bir doğruya (ayna ekseni) göre yansıtmaktır. Aynaya olan mesafe eşittir.
Yansıma Kuralları
| Ayna Ekseni | Dönüşüm Kuralı | Açıklama |
|---|---|---|
| x-ekseni | A(x, y) → A'(x, -y) | y işareti değişir |
| y-ekseni | A(x, y) → A'(-x, y) | x işareti değişir |
| Orijin (0,0) | A(x, y) → A'(-x, -y) | Her iki işaret değişir |
Örnek 4: x-eksenine Yansıma
Soru: P(5, 7) noktası x-eksenine göre yansıtılıyor. Yansıma noktasını bulunuz.
Çözüm:
x-eksenine yansımada: A(x, y) → A'(x, -y)
P(5, 7) → P'(5, -7)
Cevap: P'(5, -7)
Örnek 5: y-eksenine Yansıma
Soru: Q(-4, 3) noktası y-eksenine göre yansıtılıyor. Yansıma noktasını bulunuz.
Çözüm:
y-eksenine yansımada: A(x, y) → A'(-x, y)
Q(-4, 3) → Q'(4, 3)
Cevap: Q'(4, 3)
Örnek 6: Orijine Göre Yansıma
Soru: R(6, -2) noktası orijine göre yansıtılıyor. Yansıma noktasını bulunuz.
Çözüm:
Orijine yansımada: A(x, y) → A'(-x, -y)
R(6, -2) → R'(-6, 2)
Cevap: R'(-6, 2)
💡 Püf Noktası: Yansımada noktanın aynaya olan uzaklığı değişmez!
🔄 Dönme (Rotation)
Dönme, bir şekli veya noktayı belirli bir nokta (dönme merkezi) etrafında belirli bir açıyla döndürmektir. Genellikle orijin (0, 0) merkez alınır.
Dönme Kuralları (Orijin Etrafında, Saat Yönünün Tersi)
| Dönme Açısı | Dönüşüm Kuralı | Örnek |
|---|---|---|
| 90° | A(x, y) → A'(-y, x) | (3, 2) → (-2, 3) |
| 180° | A(x, y) → A'(-x, -y) | (3, 2) → (-3, -2) |
| 270° | A(x, y) → A'(y, -x) | (3, 2) → (2, -3) |
Örnek 7: 90° Dönme
Soru: S(4, 3) noktası orijin etrafında saat yönünün tersine 90° döndürülüyor. Yeni koordinatı bulunuz.
Çözüm:
90° dönmede: A(x, y) → A'(-y, x)
S(4, 3) → S'(-3, 4)
Cevap: S'(-3, 4)
Örnek 8: 180° Dönme
Soru: T(5, -2) noktası orijin etrafında 180° döndürülüyor. Yeni koordinatı bulunuz.
Çözüm:
180° dönmede: A(x, y) → A'(-x, -y)
T(5, -2) → T'(-5, 2)
Cevap: T'(-5, 2)
Örnek 9: 270° Dönme
Soru: U(-3, 6) noktası orijin etrafında saat yönünün tersine 270° döndürülüyor. Yeni koordinatı bulunuz.
Çözüm:
270° dönmede: A(x, y) → A'(y, -x)
U(-3, 6) → U'(6, 3)
Cevap: U'(6, 3)
💡 Not: 180° dönme ile orijine göre yansıma aynı sonucu verir!
⚖️ Simetri
Simetri, bir şekli ikiye bölen ve iki yarıyı birbirinin aynası yapan doğrudur. Simetri eksenine göre katlandığında iki yarı tamamen çakışır.
Simetri Türleri
1. Yansıma Simetrisi (Doğrusal Simetri): Bir doğruya göre katlanınca çakışma
2. Dönme Simetrisi: Belirli açıda döndürünce kendisiyle çakışma
3. Öteleme Simetrisi: Tekrar eden desenler
Örnek 10: Şekillerin Simetri Eksenleri
| Şekil | Simetri Ekseni Sayısı | Açıklama |
|---|---|---|
| Kare | 4 | 2 köşegen + 2 kenar ortası |
| Dikdörtgen | 2 | 2 kenar ortası |
| Eşkenar Üçgen | 3 | Her köşeden karşı kenara |
| İkizkenar Üçgen | 1 | Tepe noktasından tabana |
| Çevre | Sonsuz | Merkezden geçen her doğru |
Örnek 11: Dönme Simetrisi
Soru: Düzgün altıgenin dönme simetrisi kaç derecedir?
Çözüm:
Düzgün altıgen 6 eşit kenara sahiptir.
360° ÷ 6 = 60°
Yani her 60° döndüğünde kendisiyle çakışır.
Cevap: 60° dönme simetrisi vardır
🔗 Ardışık Dönüşümler
Bazen bir noktaya birden fazla dönüşüm uygulanır. Her adımı sırayla yapmalıyız.
Örnek 12: Yansıma + Öteleme
Soru: V(6, -4) noktası önce x-eksenine göre yansıtılıyor, sonra sağa 3 birim öteleniyor. Son koordinatı bulunuz.
Çözüm:
Adım 1: x-eksenine yansıma
V(6, -4) → V'(6, 4) (y işareti değişti)
Adım 2: Sağa 3 birim öteleme
V'(6, 4) → V”(6 + 3, 4) = V”(9, 4)
Cevap: V”(9, 4)
Örnek 13: Dönme + Yansıma
Soru: W(4, 2) noktası önce orijin etrafında 90° döndürülüyor, sonra y-eksenine göre yansıtılıyor. Son koordinatı bulunuz.
Çözüm:
Adım 1: 90° dönme
W(4, 2) → W'(-2, 4)
Adım 2: y-eksenine yansıma
W'(-2, 4) → W”(2, 4) (x işareti değişti)
Cevap: W”(2, 4)
Örnek 14: Üçlü Dönüşüm
Soru: K(3, -5) noktası sırasıyla: 1) Yukarı 3 birim öteleniyor, 2) y-eksenine göre yansıtılıyor, 3) 180° döndürülüyor. Son koordinatı bulunuz.
Çözüm:
Adım 1: Yukarı 3 öteleme
K(3, -5) → K₁(3, -2)
Adım 2: y-eksenine yansıma
K₁(3, -2) → K₂(-3, -2)
Adım 3: 180° dönme
K₂(-3, -2) → K₃(3, 2)
Cevap: K₃(3, 2)
🌍 Günlük Hayattan Örnekler
Örnek 15: Ayna Görüntüsü
Durum: Aynada kendi görüntümüz
Açıklama: Aynada gördüğümüz görüntümüz yansıma dönüşümüdür. Sağ elimizi kaldırdığımızda aynada sol el kalkıyor gibi görünür.
Geometrik Karşılık: Ayna bir simetri eksenidir.
Örnek 16: Dönen Kapı
Durum: Otellerdeki döner kapılar
Açıklama: Döner kapıların hareketi dönme dönüşümüdür. Merkezde sabit kalır, belirli açıyla döner.
Geometrik Karşılık: Merkez noktası etrafında dönme.
Örnek 17: Duvar Kağıdı Desenleri
Durum: Tekrar eden duvar kağıdı motifleri
Açıklama: Aynı desenin yanyana ve altalta tekrarı öteleme simetrisidir.
Geometrik Karşılık: Düzenli aralıklarla öteleme.
⚠️ Sık Yapılan Hatalar
❌ Hata 1: Yansımada hangi koordinatın değişeceğini karıştırmak
✓ Doğru: x-eksenine yansımada y değişir, y-eksenine yansımada x değişir
❌ Hata 2: 90° dönmede koordinatları sadece yer değiştirmek
✓ Doğru: 90° dönme: (x, y) → (-y, x) – işarete de dikkat!
❌ Hata 3: Ardışık dönüşümlerde sırayı karıştırmak
✓ Doğru: Dönüşümler sırasıyla yapılır! İlk dönüşümün sonucuna ikinci dönüşüm uygulanır.
❌ Hata 4: Sola ve aşağı ötelemede + kullanmak
✓ Doğru: Sola ve aşağı ötelemede eksi (-) kullanılır!
❌ Hata 5: Dönme simetrisi açısını yanlış hesaplamak
✓ Doğru: Dönme simetrisi = 360° ÷ kenar sayısı (düzgün çokgenlerde)
📊 Dönüşüm Karşılaştırma Tablosu
🔑 Önemli: Üç dönüşümde de şeklin boyutu ve şekli korunur!
📚 Özet
- Öteleme: Kaydırma → A(x, y) → A'(x + a, y + b)
- x-eksenine Yansıma: A(x, y) → A'(x, -y)
- y-eksenine Yansıma: A(x, y) → A'(-x, y)
- Orijine Yansıma: A(x, y) → A'(-x, -y)
- 90° Dönme: A(x, y) → A'(-y, x)
- 180° Dönme: A(x, y) → A'(-x, -y)
- 270° Dönme: A(x, y) → A'(y, -x)
- Simetri Ekseni: Şekli ikiye bölen ve çakıştıran doğru
- Dönme Simetrisi: 360° ÷ kenar sayısı
- Önemli: Tüm dönüşümlerde boyut ve şekil korunur!
🎯 Konuyu pekiştirmek için testimizi çöz!
0 Yorum