Doğrular ve Açılar Konu Anlatımı – 7. Sınıf Matematik

1. Nokta

Tanım: Konumu olan ancak boyutu olmayan geometrik elemanır.

Sembol: Büyük harflerle gösterilir (A, B, C, P, K)

Özellik: Sonsuz sayıda nokta vardır

2. Doğru

Tanım: İki yönde de sonsuz uzanan çizgidir.

Sembol: ↔ (AB doğrusu veya d doğrusu)

Özellik: Uzunluğu ölçülemez (sonsuz)

3. Işın

Tanım: Bir noktadan başlayıp bir yönde sonsuz uzanan çizgidir.

Sembol: → [AB ışını – A başlangıç noktası]

Özellik: Başlangıç noktası var, bitiş noktası yok

4. Doğru Parçası

Tanım: İki nokta arasındaki sınırlı kısımdır.

Sembol: [AB] veya AB

Özellik: Uzunluğu ölçülebilir (sınırlı)

💡 Fark: Doğru → sonsuz, Işın → yarı sonsuz, Doğru parçası → sınırlı

Açı Sembolleri

∠ABC: B köşe noktası, A ve C ışınlar üzerindeki noktalar

∠B: Sadece köşe noktasıyla gösterim

α, β, θ: Yunan harfleriyle gösterim

Açı Ölçü Birimleri

Derece (°): En yaygın kullanılan birim

• 1 tam dönüş = 360°

• 1 dik açı = 90°

• 1 doğru açı = 180°

Örnek 1: Açı Türünü Belirleme

Soru: Aşağıdaki açıların türlerini belirleyiniz:

a) 45° b) 90° c) 135° d) 180° e) 270°

Çözüm:

a) 45° → Dar açı (90’dan küçük)

b) 90° → Dik açı

c) 135° → Geniş açı (90 ile 180 arası)

d) 180° → Doğru açı

e) 270° → Geniş açı (180’den büyük, 360’dan küçük)

1. Tümler Açılar (Complementary Angles)

α + β = 90°

Tanım: Toplamları 90° olan iki açıya tümler açılar denir.

Örnek: 30° ve 60° tümlerdir çünkü 30° + 60° = 90°

Örnek 2: Tümler Açı Bulma

Soru: Bir açının ölçüsü 38° ise tümler açısı kaç derecedir?

Çözüm:

Tümler açılar toplamı = 90°

38° + x = 90°

x = 90° – 38° = 52°

Cevap: 52°

2. Bütünler Açılar (Supplementary Angles)

α + β = 180°

Tanım: Toplamları 180° olan iki açıya bütünler açılar denir.

Örnek: 70° ve 110° bütünlerdir çünkü 70° + 110° = 180°

Örnek 3: Bütünler Açı Bulma

Soru: Bir açının ölçüsü 125° ise bütünler açısı kaç derecedir?

Çözüm:

Bütünler açılar toplamı = 180°

125° + x = 180°

x = 180° – 125° = 55°

Cevap: 55°

3. Komşu Açılar

Tanım: Bir kenarı ortak olan ve toplamları 180° olan açılara komşu açılar denir.

Özellik: Komşu açılar her zaman bütünlerdir.

💡 Hatırlatıcı: Tümler → 90°, Bütünler → 180°

Ters Açılar Eşittir

α₁ = α₃ ve α₂ = α₄

Örnek 4: Ters Açı Bulma

Soru: İki doğru kesişmiştir. Bir açı 75° ise, ters açısı ve komşu açıları bulunuz.

Çözüm:

Ters açı: 75° (ters açılar eşit)

Komşu açı: 180° – 75° = 105° (komşu açılar bütünler)

Cevap: Ters açı = 75°, Komşu açılar = 105°

Açı İlişkileri

1. Yöndeş Açılar (Corresponding Angles): Aynı tarafta, aynı konumda → Eşittir

2. İç Ters Açılar (Alternate Interior Angles): Paraleller arasında, farklı tarafta → Eşittir

3. Dış Ters Açılar (Alternate Exterior Angles): Paralellerin dışında, farklı tarafta → Eşittir

4. İç Açılar (Co-Interior Angles): Paraleller arasında, aynı tarafta → Bütünlerdir (180°)

Örnek 5: Paralel Doğrularda Açı Bulma

Soru: d // k (d paralel k). Kesen bir doğru ile 50° açı yapıyor. İç ters açıyı ve yöndeş açıyı bulunuz.

Çözüm:

İç ters açı: 50° (iç ters açılar eşittir)

Yöndeş açı: 50° (yöndeş açılar eşittir)

Cevap: Her ikisi de 50°

Örnek 6: İç Açılar Toplamı

Soru: d // k. Kesen ile oluşan iç açılardan biri 110° ise, diğer iç açı kaç derecedir?

Çözüm:

Aynı taraftaki iç açılar bütünlerdir

110° + x = 180°

x = 180° – 110° = 70°

Cevap: 70°

💡 Önemli: Paralel doğrularda yöndeş, iç ters ve dış ters açılar eşittir!

Örnek 7: Saat Kolları – Açılar

Durum: Saatin akrep ve yelkovanının oluşturduğu açı

Açıklama: Saat 3:00’te akrep ve yelkovan dik açı (90°) oluşturur.

Saat 6:00’te doğru açı (180°) oluşturur.

Matematiksel İlişki: Her 1 saatte yelkovan 360°, akrep 30° döner.

Örnek 8: Cadde Kesişimi – Ters Açılar

Durum: İki caddenin kesiştiği kavşak

Açıklama: Kavşakta karşılıklı köşeler ters açılardır ve eşittir.

Geometrik Özellik: Ters açılar her zaman eşit olduğu için, karşılıklı köşelerdeki açılar aynıdır.

Örnek 9: Tren Rayları – Paralel Doğrular

Durum: Tren rayları ve traversler

Açıklama: Tren rayları paralel doğrulardır. Traversler (kesen tahta parçalar) ile yöndeş açılar oluşturur.

Geometrik Özellik: Paralel rayları kesen traversler, her iki rayla da aynı açıyı yapar (yöndeş açılar eşit).

❌ Hata 1: Tümler ve bütünler açıları karıştırmak

✓ Doğru: Tümler → 90°, Bütünler → 180° (Bütünler daha büyük!)

❌ Hata 2: Komşu açıların toplamını 90° sanmak

✓ Doğru: Komşu açılar 180°‘dir (bütünler)

❌ Hata 3: 90° < α < 180° aralığını geniş açı yerine dar açı sanmak

✓ Doğru: 90°’den büyük açılar geniş açıdır

❌ Hata 4: Paralel doğrularda iç açıları eşit sanmak

✓ Doğru: Aynı taraftaki iç açılar bütünlerdir (180°), iç ters açılar eşittir

❌ Hata 5: Ters açıların toplamını 180° sanmak

✓ Doğru: Ters açılar eşittir, toplamları değil!

❌ Hata 6: Doğru parçası ile doğruyu karıştırmak

✓ Doğru: Doğru → sonsuz, Doğru parçası → sınırlı ve ölçülebilir

Örnek 10: Karmaşık Açı Problemi

Soru: İki açı bütünlerdir. Birinci açı, ikinci açının 2 katından 30° eksiktir. Bu açıları bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: İkinci açıyı x diyelim

Birinci açı = 2x – 30°

Adım 2: Bütünler olduğu için

(2x – 30°) + x = 180°

3x – 30° = 180°

3x = 210°

x = 70°

Adım 3: Birinci açıyı bulalım

2(70°) – 30° = 140° – 30° = 110°

Kontrol: 110° + 70° = 180° ✓

Cevap: 110° ve 70°

Örnek 11: Üç Açı Problemi

Soru: Üç açının toplamı 180°’dir. Birinci açı 50°, ikinci açı birinci açının 2 katıdır. Üçüncü açıyı bulunuz.

Çözüm:

Birinci açı = 50°

İkinci açı = 2 × 50° = 100°

Üçüncü açı = 180° – 50° – 100° = 30°

Cevap: 30°