📚 Konu Anlatımı 👇 Teste Git✕+
📖 Çarpanlar ve Katlar
🔢 Çarpanlar ve Katlar
📊 Temel Kavramlar
- Çarpan: Bir sayıyı bölen sayılar
- Kat: Bir sayının çarpımları
- EBOB: En Büyük Ortak Bölen
- EKOK: En Küçük Ortak Kat
EBOB(12, 18) = 6
EKOK(12, 18) = 36
EBOB × EKOK = İki sayının çarpımı
⚠️ Test İpucu: EBOB × EKOK = a × b
🔢 Çarpanlar ve Katlar – 7. Sınıf Matematik
Çarpan, kat, asal sayılar, asal çarpanlara ayırma, EBOB ve EKOK konularını derinlemesine öğrenelim!
📌 Çarpan Nedir?
Bir doğal sayıyı tam bölen sayılara o sayının çarpanı denir. Çarpanlar her zaman pozitif tam sayılardır.
Örnek 1: 12 Sayısının Çarpanları
12 ÷ 1 = 12 → 1 ve 12 çarpandır
12 ÷ 2 = 6 → 2 ve 6 çarpandır
12 ÷ 3 = 4 → 3 ve 4 çarpandır
Sonuç: 12’nin çarpanları = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
💡 İpucu: Çarpanları bulmak için sayıyı küçükten büyüğe doğru böleriz. Yarıya geldiğimizde durabilir, çünkü geri kalanlar tekrar eder!
📌 Kat Nedir?
Bir doğal sayının pozitif tam sayılarla çarpımından elde edilen sayılara o sayının katı denir.
Örnek 2: 5 Sayısının Katları
5 × 1 = 5
5 × 2 = 10
5 × 3 = 15
5 × 4 = 20
5 × 5 = 25 …
Sonuç: 5’in katları = {5, 10, 15, 20, 25, 30, …}
💡 İpucu: Bir sayının katları sonsuzdur! Her sayının en küçük katı kendisidir.
📌 Asal Sayılar
Sadece 1 ve kendisi dışında çarpanı olmayan, 1’den büyük doğal sayılara asal sayı denir.
İlk Asal Sayılar
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47…
Örnek 3: Asal Sayı Kontrolü
Soru: 29 sayısı asal mıdır?
Çözüm:
29’un çarpanlarını kontrol edelim:
✓ 29 ÷ 1 = 29 (1 ve kendisi)
✗ 29 ÷ 2 = 14,5 (tam bölünmez)
✗ 29 ÷ 3 = 9,66… (tam bölünmez)
✗ 29 ÷ 5 = 5,8 (tam bölünmez)
Sonuç: 29 sadece 1 ve 29’a tam bölündüğü için asal sayıdır ✓
⚠️ Dikkat: 1 asal sayı değildir! En küçük asal sayı 2’dir ve 2, tek çift asal sayıdır.
📌 Asal Çarpanlara Ayırma
Bir sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlara ayırma denir.
Örnek 4: 60 Sayısını Asal Çarpanlara Ayırma
Yöntem 1: Faktör Ağacı
60
/
2 30
/
2 15
/
3 5
Sonuç: 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
Yöntem 2: Bölme Yöntemi (Merdiven)
| 2 | 60 |
| 2 | 30 |
| 3 | 15 |
| 5 | 5 |
| 1 |
Sonuç: 60 = 2² × 3 × 5
📌 EBOB (En Büyük Ortak Bölen)
İki veya daha fazla sayıyı tam bölen en büyük sayıya bu sayıların EBOB’u denir.
Örnek 5: EBOB(24, 36) = ?
Adım 1: Çarpanları bulalım
24’ün çarpanları: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
36’nın çarpanları: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Adım 2: Ortak çarpanlar: {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Sonuç: En büyük ortak çarpan = 12
Örnek 6: Asal Çarpanlarla EBOB Bulma
Soru: EBOB(48, 72) = ?
Çözüm:
48 = 2⁴ × 3
72 = 2³ × 3²
EBOB için: Ortak asal çarpanların en küçük üslülerini çarpıyoruz
EBOB = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24
Sonuç: EBOB(48, 72) = 24
💡 Kural: EBOB’da ortak asal çarpanların en küçük üslüsünü alırız!
📌 EKOK (En Küçük Ortak Kat)
İki veya daha fazla sayının ortak katlarından en küçük olanına bu sayıların EKOK’u denir.
Örnek 7: EKOK(6, 8) = ?
Adım 1: Katları bulalım
6’nın katları: {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …}
8’in katları: {8, 16, 24, 32, 40, 48, …}
Adım 2: Ortak katlar: {24, 48, 72, …}
Sonuç: En küçük ortak kat = 24
Örnek 8: Asal Çarpanlarla EKOK Bulma
Soru: EKOK(18, 24) = ?
Çözüm:
18 = 2 × 3²
24 = 2³ × 3
EKOK için: Tüm asal çarpanların en büyük üslülerini çarpıyoruz
EKOK = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72
Sonuç: EKOK(18, 24) = 72
💡 Kural: EKOK’ta tüm asal çarpanların en büyük üslüsünü alırız!
🌍 Günlük Hayattan Örnekler
Örnek 9: Karolar Problemi (EBOB)
Soru: 24 cm uzunluğunda ve 36 cm genişliğinde dikdörtgen şeklindeki bir alanı kare karolarla kaplamak istiyoruz. Kullanılabilecek en büyük kare karonun kenar uzunluğu kaç cm olur?
Çözüm:
En büyük kare karo için EBOB(24, 36) bulmalıyız.
24 = 2³ × 3
36 = 2² × 3²
EBOB(24, 36) = 2² × 3 = 4 × 3 = 12
Cevap: En büyük kare karonun kenar uzunluğu 12 cm olmalıdır.
Örnek 10: Otobüs Problemi (EKOK)
Soru: İki otobüs aynı duraktan hareket ediyor. Biri her 12 dakikada, diğeri her 18 dakikada bir buraya geri dönüyor. İlk kez kaç dakika sonra tekrar aynı anda bu durakta olurlar?
Çözüm:
İki otobüsün birlikte olacağı zamanı bulmak için EKOK(12, 18) bulmalıyız.
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
EKOK(12, 18) = 2² × 3² = 4 × 9 = 36
Cevap: İki otobüs 36 dakika sonra tekrar aynı anda durakta olurlar.
Örnek 11: Hediye Paketi Problemi (EBOB)
Soru: 48 kalem ve 72 silgiyi eşit sayıda paketlere koymak istiyoruz. En fazla kaç paket yapabiliriz?
Çözüm:
En fazla paket sayısı için EBOB(48, 72) bulmalıyız.
48 = 2⁴ × 3
72 = 2³ × 3²
EBOB(48, 72) = 2³ × 3 = 24
Her pakette: 48 ÷ 24 = 2 kalem, 72 ÷ 24 = 3 silgi
Cevap: En fazla 24 paket yapabiliriz. Her pakette 2 kalem ve 3 silgi olur.
⚠️ Sık Yapılan Hatalar
❌ Hata 1: “1 asal sayıdır”
✓ Doğru: 1 asal sayı değildir! Asal sayı tanımı “1’den büyük” der.
❌ Hata 2: EBOB’da en büyük üslü, EKOK’ta en küçük üslü almak
✓ Doğru: Tam tersi! EBOB’da en küçük, EKOK’ta en büyük üslü alırız.
❌ Hata 3: “2 asal sayı değildir, çünkü çift sayıdır”
✓ Doğru: 2 asal sayıdır ve tek çift asal sayıdır!
❌ Hata 4: EBOB’u EKOK’tan büyük bulmak
✓ Doğru: EBOB her zaman EKOK’tan küçük veya eşittir! EBOB(a,b) ≤ EKOK(a,b)
❌ Hata 5: Aralarında asal sayıların EBOB’unu 0 sanmak
✓ Doğru: Aralarında asal sayıların EBOB’u 1’dir! (Örn: EBOB(7,9) = 1)
📝 Önemli Formüller ve Kurallar
Temel Formüller
1. İki sayının çarpımı = EBOB × EKOK
a × b = EBOB(a,b) × EKOK(a,b)
2. Aralarında asal sayılar için:
EBOB(a,b) = 1 ve EKOK(a,b) = a × b
3. Bir sayı diğerinin katı ise:
EBOB = küçük sayı, EKOK = büyük sayı
Örnek 12: Formül Kullanımı
Soru: EBOB(12, 18) = 6 ise EKOK(12, 18) = ?
Çözüm:
a × b = EBOB × EKOK formülünü kullanırız
12 × 18 = 6 × EKOK
216 = 6 × EKOK
EKOK = 216 ÷ 6 = 36
Cevap: EKOK(12, 18) = 36
📚 Özet
- Çarpan: Bir sayıyı tam bölen pozitif tam sayılar
- Kat: Bir sayının pozitif tam sayılarla çarpımları (sonsuzdur)
- Asal Sayı: Sadece 1 ve kendisine bölünen, 1’den büyük sayılar (2, 3, 5, 7, 11…)
- Asal Çarpanlara Ayırma: Sayıyı asal çarpanların çarpımı olarak yazma
- EBOB: En büyük ortak bölen (ortak asal çarpanların en küçük üslüleri)
- EKOK: En küçük ortak kat (tüm asal çarpanların en büyük üslüleri)
- Önemli: a × b = EBOB(a,b) × EKOK(a,b)
- 1 asal sayı değildir! En küçük asal sayı 2’dir.
- 2, tek çift asal sayıdır!
🎯 Konuyu pekiştirmek için testimizi çöz!
0 Yorum