4. Sınıf Matematik Çarpanlar ve Katlar Konu Anlatımı

🔢 Çarpanlar ve Katlar

Bir sayıyı tam bölen sayılara çarpan, bir sayıyı katlamakla elde edilen sayılara kat denir. Çarpanlar, katlar, asal sayılar ve bölünebilme kurallarını birlikte öğrenelim!

📌 Çarpan Nedir?

Bir sayıyı kalansız olarak bölen sayılara o sayının çarpanları denir. Başka bir deyişle: İki sayının çarpımı bir üçüncü sayıyı veriyorsa, çarpılan sayılar o üçüncü sayının çarpanlarıdır.

Örnek: 12’nin çarpanlarını bulalım

12’yi kalansız bölen bütün sayıları arıyoruz:

12 ÷ 1 = 12 ✓ (tam bölündü)
12 ÷ 2 = 6 ✓ (tam bölündü)
12 ÷ 3 = 4 ✓ (tam bölündü)
12 ÷ 4 = 3 ✓ (tam bölündü)
12 ÷ 5 = 2 kalan 2 ✗ (tam bölünmedi)
12 ÷ 6 = 2 ✓ (tam bölündü)
12 ÷ 12 = 1 ✓ (tam bölündü)

Sonuç: 12’nin çarpanları = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Daha fazla örnek:

Sayı	Çarpanları	Çarpan Sayısı
6	1, 2, 3, 6	4
10	1, 2, 5, 10	4
15	1, 3, 5, 15	4
20	1, 2, 4, 5, 10, 20	6
24	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24	8

💡 Hatırla: Her sayının en küçük çarpanı 1, en büyük çarpanı kendisidir.

📈 Kat Nedir?

Bir sayının 1, 2, 3, 4, 5… gibi doğal sayılarla çarpılmasıyla elde edilen sayılara o sayının katları denir.

Örnek: 4’ün katlarını bulalım

4 × 1 = 4
4 × 2 = 8
4 × 3 = 12
4 × 4 = 16
4 × 5 = 20
4 × 6 = 24 …

Sonuç: 4’ün katları = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 …} (sonsuza kadar devam eder)

Farklı sayıların katları:

Sayı	İlk 6 Katı
3	3, 6, 9, 12, 15, 18
5	5, 10, 15, 20, 25, 30
7	7, 14, 21, 28, 35, 42
9	9, 18, 27, 36, 45, 54

💡 Hatırla: Bir sayının katları sonsuzdur. Çarpanları ise sınırlıdır.

🔄 Çarpan ve Kat Arasındaki İlişki

Çarpan ve kat birbirinin tersidir:

3 × 4 = 12

3, 12’nin çarpanıdır → çünkü 12’yi tam böler (12 ÷ 3 = 4)
4, 12’nin çarpanıdır → çünkü 12’yi tam böler (12 ÷ 4 = 3)
12, 3’ün katıdır → çünkü 3 × 4 = 12
12, 4’ün katıdır → çünkü 4 × 3 = 12

🔑 Kural: A, B’nin çarpanı ise → B, A’nın katıdır.
Örnek: 5, 30’un çarpanıdır → 30, 5’in katıdır.

⭐ Asal Sayılar

Sadece 1’e ve kendisine bölünebilen, 1’den büyük sayılara asal sayı denir. Yani asal sayıların tam olarak 2 çarpanı vardır.

1’den 30’a kadar asal sayılar:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Neden asal?

Sayı	Çarpanları	Asal mı?
1	1	Hayır (tek çarpanı var)
2	1, 2	Evet ✓
4	1, 2, 4	Hayır (3 çarpanı var)
7	1, 7	Evet ✓
9	1, 3, 9	Hayır (3 çarpanı var)
13	1, 13	Evet ✓

⚠️ Dikkat: 1 asal sayı değildir! 2 ise tek çift asal sayıdır.

📏 Bölünebilme Kuralları

Bölünebilme kuralları, bir sayının başka bir sayıya kalansız bölünüp bölünmediğini bölme işlemi yapmadan anlamamızı sağlar.

Bölünme	Kural	Örnek
2’ye	Son basamağı 0, 2, 4, 6, 8 ise (çift sayı)	246 → ✓ (sonu 6)
3’e	Rakamları toplamı 3’e bölünür	135 → 1+3+5=9 → ✓
4’e	Son iki basamağı 4’e bölünür veya 00	324 → 24÷4=6 → ✓
5’e	Son basamağı 0 veya 5	175 → ✓ (sonu 5)
6’ya	Hem 2’ye hem 3’e bölünür	132 → çift ✓, 1+3+2=6 → ✓
9’a	Rakamları toplamı 9’a bölünür	738 → 7+3+8=18 → ✓
10’a	Son basamağı 0	250 → ✓ (sonu 0)

Uygulama: 360 sayısı hangi sayılara bölünür?

2’ye: Sonu 0 (çift) → ✓
3’e: 3+6+0 = 9 (3’e bölünür) → ✓
4’e: Son iki basamak 60 (60÷4=15) → ✓
5’e: Sonu 0 → ✓
6’ya: Hem 2’ye hem 3’e bölünür → ✓
9’a: 3+6+0 = 9 (9’a bölünür) → ✓
10’a: Sonu 0 → ✓

Sonuç: 360, yukarıdaki sayıların hepsine bölünür!

🔗 EKOK (En Küçük Ortak Kat)

İki veya daha fazla sayının ortak katlarından en küçüğüne EKOK denir.

Örnek: 4 ve 6’nın EKOK’unu bulalım

4’ün katları: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36…

6’nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36…

Ortak katlar: 12, 24, 36…

EKOK(4, 6) = 12 (ortak katların en küçüğü)

Başka örnekler:

Sayılar	1. Sayının Katları	2. Sayının Katları	EKOK
3, 5	3, 6, 9, 12, 15	5, 10, 15	15
6, 8	6, 12, 18, 24	8, 16, 24	24
4, 10	4, 8, 12, 16, 20	10, 20	20

🎯 EBOB (En Büyük Ortak Bölen)

İki veya daha fazla sayının ortak çarpanlarından en büyüğüne EBOB denir.

Örnek: 12 ve 18’in EBOB’unu bulalım

12’nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 12

18’in çarpanları: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Ortak çarpanlar: 1, 2, 3, 6

EBOB(12, 18) = 6 (ortak çarpanların en büyüğü)

Başka örnekler:

Sayılar	1. Sayının Çarpanları	2. Sayının Çarpanları	EBOB
8, 12	1, 2, 4, 8	1, 2, 3, 4, 6, 12	4
15, 20	1, 3, 5, 15	1, 2, 4, 5, 10, 20	5
9, 21	1, 3, 9	1, 3, 7, 21	3

✏️ Pratik Sorular

Soru 1: 18’in çarpanlarını bulunuz.

18 ÷ 1 = 18 ✓ | 18 ÷ 2 = 9 ✓ | 18 ÷ 3 = 6 ✓ | 18 ÷ 6 = 3 ✓ | 18 ÷ 9 = 2 ✓ | 18 ÷ 18 = 1 ✓
Cevap: 18’in çarpanları = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

Soru 2: 6’nın ilk 5 katını yazınız.

6×1=6, 6×2=12, 6×3=18, 6×4=24, 6×5=30
Cevap: 6, 12, 18, 24, 30

Soru 3: 23 asal sayı mıdır? Neden?

23’ü kontrol edelim: 23÷2=11 kalan 1, 23÷3=7 kalan 2, 23÷4=5 kalan 3… 1 ve 23 dışında hiçbir sayıya tam bölünmüyor.
Cevap: Evet, 23 asal sayıdır. Çarpanları sadece 1 ve 23’tür.

Soru 4: 456 sayısı 3’e bölünür mü?

Rakamları topla: 4 + 5 + 6 = 15. 15 ÷ 3 = 5 (tam bölündü).
Cevap: Evet, 456 sayısı 3’e bölünür.

Soru 5: 3 ve 4’ün EKOK’unu bulunuz.

3’ün katları: 3, 6, 9, 12, 15…
4’ün katları: 4, 8, 12, 16…
Cevap: EKOK(3, 4) = 12

Soru 6: 16 ve 24’ün EBOB’unu bulunuz.

16’nın çarpanları: 1, 2, 4, 8, 16
24’ün çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Ortak çarpanlar: 1, 2, 4, 8
Cevap: EBOB(16, 24) = 8

Soru 7: 1’den 20’ye kadar asal sayıları yazınız.

Cevap: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 (toplam 8 asal sayı)

Soru 8: 540 sayısı hem 4’e hem 9’a bölünür mü?

4’e bölünme: Son iki basamak 40 → 40÷4=10 ✓
9’a bölünme: 5+4+0=9 → 9÷9=1 ✓
Cevap: Evet, 540 hem 4’e hem 9’a bölünür.

📋 Konu Özeti

Çarpan: Bir sayıyı kalansız bölen sayılardır. Her sayının en küçük çarpanı 1, en büyüğü kendisidir.
Kat: Bir sayıyı doğal sayılarla çarpmakla elde edilir. Katlar sonsuzdur.
İlişki: A, B’nin çarpanı ise → B, A’nın katıdır.
Asal sayı: Sadece 1’e ve kendisine bölünür. 1 asal değildir, 2 tek çift asaldır.
Bölünebilme: 2→çift, 3→rakamlar toplamı, 5→sonu 0/5, 9→rakamlar toplamı, 10→sonu 0
EKOK: Ortak katların en küçüğü
EBOB: Ortak çarpanların en büyüğü