📝 Tanım (Limit ile)

Bu limit varsa f fonksiyonu x noktasında türevlenebilirdir ve limit değeri f'(x) ile gösterilir.

🚗 Fiziksel Yorumu

Konum fonksiyonu: s(t) → bir cismin zamana göre konumu
Hız: v(t) = s'(t) → konumun türevi
İvme: a(t) = v'(t) = s”(t) → hızın türevi

Örneğin s(t) = 5t² ise:
v(t) = 10t (hız) ve a(t) = 10 (sabit ivme)

📐 Geometrik Yorumu

f'(a) değeri, f fonksiyonunun grafiğine x = a noktasında çizilen teğet doğrunun eğimidir.

Teğet doğru denklemi: y – f(a) = f'(a) · (x – a)

⚡ Türevlenebilirlik Şartı

Bir fonksiyon x = a’da türevlenebilir ise x = a’da süreklidir. Ancak sürekli olan her fonksiyon türevlenebilir olmayabilir (örn. f(x) = |x|, x = 0’da sürekli ama türevlenemez).

✏️ Çözümlü Örnek

f(x) = 3x⁴ – 5x² + 7x – 2 fonksiyonunun türevini bulunuz.

f'(x) = 3·4x³ – 5·2x + 7·1 – 0
f'(x) = 12x³ – 10x + 7

✏️ Örnekler

1) f(x) = (2x + 1)⁵
f'(x) = 5·(2x+1)⁴ · 2 = 10(2x+1)⁴

2) f(x) = √(x² + 3) = (x²+3)^1/2
f'(x) = (1/2)·(x²+3)^-1/2 · 2x = x / √(x²+3)

3) f(x) = sin(3x²)
f'(x) = cos(3x²) · 6x = 6x·cos(3x²)

💡 Hatırlatma

“co” ile başlayan fonksiyonların (cos, cot, csc) türevleri negatif işaretlidir. Bu pattern’i hatırlamak kuralları ezberlemeyı kolaylaştırır.

✏️ Zincir Kuralı ile Beraber

1) f(x) = e^3x² → f'(x) = e^3x² · 6x = 6x · e^3x²
2) f(x) = ln(x² + 1) → f'(x) = 2x / (x² + 1)
3) f(x) = 2^sinx → f'(x) = 2^sinx · ln2 · cosx

✏️ Çözümlü Örnek

Soru: x² + y² = 25 ise dy/dx’i bulunuz.

Her iki tarafın türevini alalım:
2x + 2y · y’ = 0
2y · y’ = -2x
y’ = -x/y

• Bir aralıkta f'(x) > 0 ise f bu aralıkta artandır ↑
• Bir aralıkta f'(x) < 0 ise f bu aralıkta azalandır ↓
• Bir aralıkta f'(x) = 0 ise f bu aralıkta sabittir

✏️ Çözümlü Örnek

Soru: f(x) = x³ – 3x fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.

f'(x) = 3x² – 3 = 3(x² – 1) = 3(x-1)(x+1)
f'(x) = 0 → x = -1 veya x = 1

İşaret tablosu:
x < -1 → f'(x) > 0 → artan
-1 < x < 1 → f'(x) < 0 → azalan
x > 1 → f'(x) > 0 → artan

1. Türev Testi (İşaret Değişimi)

• f'(x) işareti (+) → (-) geçiyorsa → yerel maksimum
• f'(x) işareti (-) → (+) geçiyorsa → yerel minimum
• İşaret değişmiyorsa → ekstremum yok (bükülme noktası olabilir)

2. Türev Testi

f'(c) = 0 olan c noktasında:
• f”(c) < 0 → yerel maksimum (konkav ∩)
• f”(c) > 0 → yerel minimum (konveks ∪)
• f”(c) = 0 → test sonuçsuz, 1. türev testini kullan

✏️ Çözümlü Örnek

f(x) = x³ – 3x (önceki örnek devam)
f'(x) = 3x² – 3 → f'(-1) = 0, f'(1) = 0
f”(x) = 6x
f”(-1) = -6 < 0 → x = -1'de yerel maksimum, f(-1) = 2
f”(1) = 6 > 0 → x = 1’de yerel minimum, f(1) = -2

Konkavlık (İçbükeylik/Dışbükeylik)

• f”(x) > 0: Grafik aşağı doğru açık (konkav yukarı / konveks) ∪
• f”(x) < 0: Grafik yukarı doğru açık (konkav aşağı / konkav) ∩

Büküm Noktası

f”(x) = 0 olan ve f”(x)’in işaret değiştirdiği noktalardır. Grafiğin konkavlığının değiştiği yerdir.

Örnek: f(x) = x³ → f”(x) = 6x → f”(0) = 0 ve x = 0’da işaret değişir → (0, 0) büküm noktasıdır.

📝 Sistematik Grafik Çizim Adımları

1. Tanım kümesi: f(x)’in tanımlı olduğu aralıkları belirle
2. Simetri: Çift/tek fonksiyon mu? Periyodik mi?
3. Kesim noktaları: x = 0 (y-kesimi) ve f(x) = 0 (x-kesimleri)
4. Asimptotlar: Yatay, düşey, eğik
5. f'(x) = 0: Kritik noktalar, artan/azalan aralıklar
6. Ekstremum: Yerel max/min değerleri
7. f”(x) = 0: Büküm noktaları, konkavlık
8. Çizim: Tüm bilgileri birleştirerek grafiği çiz

📝 Çözüm Stratejisi

1. Problemdeki değişkenleri belirle
2. Optimize edilecek fonksiyonu yaz
3. Varsa kısıtlamaları kullanarak tek değişkene indir
4. Türevi alıp sıfıra eşitle
5. Kritik noktaları ve sınır değerlerini kontrol et

✏️ Çözümlü Örnek

Soru: Çevresi 40 cm olan dikdörtgenin alanını maksimum yapan kenar uzunlukları nedir?

Çözüm: Kenarlar a ve b olsun.
Çevre: 2a + 2b = 40 → b = 20 – a
Alan: A(a) = a · b = a(20 – a) = 20a – a²
A'(a) = 20 – 2a = 0 → a = 10
b = 20 – 10 = 10
A”(a) = -2 < 0 → maksimum ✓
Alan en büyük kare olduğunda: a = b = 10 cm, Alan = 100 cm²

Koşul: f(a)/g(a) belirsiz (0/0 veya ∞/∞) olmalı

✏️ Örnekler

1) lim_x→0 sin x / x → (0/0 belirsizliği)
= lim_x→0 cos x / 1 = 1

2) lim_x→∞ ln x / x → (∞/∞ belirsizliği)
= lim_x→∞ (1/x) / 1 = lim_x→∞ 1/x = 0

3) lim_x→0 (eˣ – 1) / x → (0/0)
= lim_x→0 eˣ / 1 = 1

⚠️ Dikkat

• L’Hôpital kuralı sadece 0/0 veya ∞/∞ durumlarında uygulanır
• Belirsizlik yoksa kural uygulanamaz!
• Gerekirse kural birden fazla kez uygulanabilir
• Diğer belirsizlikler (0·∞, ∞-∞, 0⁰, 1^∞, ∞⁰) önce 0/0 veya ∞/∞ formuna dönüştürülür

Soru 1: f(x) = x⁴ – 4x³ fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bulunuz.

Soru 2: f(x) = xe^-x fonksiyonunun maksimum değerini bulunuz.

Soru 3: lim_x→0 (x – sinx) / x³ limitini L’Hôpital kuralı ile bulunuz.

Soru 4: f(x) = 2sin(3x) + cos(2x) fonksiyonunun türevini bulunuz.

Soru 5: y = ln(x²+1) eğrisinin x = 1 noktasındaki teğet doğrusunun denklemini bulunuz.