📐 12. Sınıf Matematik – Diziler Konu Anlatımı
Dizi kavramı, genel terim, indirgemeli bağıntı, aritmetik ve geometrik diziler ile dizilerle ilgili gerçek hayat problemlerini bu konu anlatımında detaylıca işleyeceğiz.
📌 Dizi Kavramı
Tanım
Dizi, doğal sayılar kümesinden (veya bir alt kümesinden) bir kümeye tanımlanan fonksiyondur. Yani dizi, sıralı bir sayı listesidir. Her bir elemanına terim denir.
Gösterim:
- a : ℕ⁺ → ℝ fonksiyonu bir dizidir.
- a(n) = aₙ dizinin n. terimidir.
- Dizi: (aₙ) = a₁, a₂, a₃, a₄, … şeklinde yazılır.
- a₁: birinci terim, a₂: ikinci terim, …, aₙ: n. terim (genel terim)
Örnek: aₙ = 2n + 1 dizisinin ilk terimleri:
a₁ = 2(1) + 1 = 3
a₂ = 2(2) + 1 = 5
a₃ = 2(3) + 1 = 7
Dizi: 3, 5, 7, 9, 11, …
📌 Dizi ile Fonksiyon Farkı: Her dizi bir fonksiyondur ama her fonksiyon bir dizi değildir. Dizinin tanım kümesi doğal sayılardır (veya pozitif tam sayılar), bu nedenle dizinin grafiği sürekli bir eğri değil, ayrık noktalardan oluşur.
🔢 Genel Terim ve İndirgemeli Bağıntı
Genel Terim (Açık Formül)
Dizinin n. terimini doğrudan n cinsinden veren ifadeye genel terim denir.
Örnekler:
| Genel Terim | İlk Terimler | Dizi Türü |
|---|---|---|
| aₙ = 3n – 2 | 1, 4, 7, 10, 13, … | Aritmetik (d = 3) |
| aₙ = 2ⁿ | 2, 4, 8, 16, 32, … | Geometrik (r = 2) |
| aₙ = n² | 1, 4, 9, 16, 25, … | Kare sayılar dizisi |
| aₙ = (-1)ⁿ | -1, 1, -1, 1, -1, … | Alternan (salınımlı) |
| aₙ = 1/n | 1, 1/2, 1/3, 1/4, … | Harmonik dizi |
İndirgemeli (Özyinelemeli) Bağıntı
Dizinin bir terimini önceki terimler cinsinden veren bağıntıya indirgemeli (rekürans) bağıntı denir. Başlangıç koşulu gereklidir.
Örnekler:
- aₙ₊₁ = aₙ + 3, a₁ = 2 → Dizi: 2, 5, 8, 11, 14, … (aritmetik, d = 3)
- aₙ₊₁ = 2aₙ, a₁ = 3 → Dizi: 3, 6, 12, 24, 48, … (geometrik, r = 2)
- Fibonacci: aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ, a₁ = 1, a₂ = 1 → 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
📌 Genel Terim vs İndirgemeli Bağıntı: Genel terimde herhangi bir terimi doğrudan hesaplayabilirsiniz (a₁₀₀ = ?). İndirgemeli bağıntıda ise önceki tüm terimleri bilmeniz gerekir.
Genel Terim Bulma Stratejileri
| Dizi | Fark/Oran | Genel Terim |
|---|---|---|
| 2, 5, 8, 11, … | Sabit fark: d = 3 | aₙ = 3n – 1 (aritmetik) |
| 3, 6, 12, 24, … | Sabit oran: r = 2 | aₙ = 3 · 2ⁿ⁻¹ (geometrik) |
| 2, 6, 12, 20, 30, … | Farklar: 4, 6, 8, 10 (ikinci fark sabit: 2) | aₙ = n² + n (ikinci dereceden) |
| 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … | Pay ve payda ayrı incelenir | aₙ = n/(n+1) |
➕ Aritmetik Dizi
Tanım ve Özellikler
Ardışık iki terim arasındaki fark sabit olan diziye aritmetik dizi denir. Bu sabite ortak fark (d) denir.
Temel Formüller:
| Formül | Açıklama |
|---|---|
| d = aₙ₊₁ – aₙ | Ortak fark (her ardışık iki terim arasındaki fark) |
| aₙ = a₁ + (n–1)d | Genel terim formülü |
| aₙ = aₖ + (n–k)d | Herhangi bir terimden başlayarak genel terim |
| Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 | İlk n terimin toplamı |
| Sₙ = n[2a₁ + (n–1)d]/2 | Toplam (aₙ bilinmiyorsa) |
| aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2 | Ortanca özelliği (her terim, komşularının aritmetik ortalamasıdır) |
Örnek: a₁ = 5, d = 3 olan aritmetik dizide:
Dizi: 5, 8, 11, 14, 17, 20, …
a₁₀ = 5 + (10–1)·3 = 5 + 27 = 32
S₁₀ = 10·(5 + 32)/2 = 10·37/2 = 185
Aritmetik Orta
a ve b sayıları arasına n tane aritmetik orta eklemek: a, x₁, x₂, …, xₙ, b dizisi aritmetik dizi olur.
d = (b – a)/(n + 1)
Örnek: 3 ile 15 arasına 3 aritmetik orta ekle:
d = (15 – 3)/(3 + 1) = 12/4 = 3
Dizi: 3, 6, 9, 12, 15
✖️ Geometrik Dizi
Tanım ve Özellikler
Ardışık iki terimin oranı sabit olan diziye geometrik dizi denir. Bu sabite ortak oran (r) denir. (a₁ ≠ 0, r ≠ 0)
| Formül | Açıklama |
|---|---|
| r = aₙ₊₁/aₙ | Ortak oran |
| aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹ | Genel terim formülü |
| Sₙ = a₁(rⁿ – 1)/(r – 1) | İlk n terimin toplamı (r ≠ 1) |
| (aₙ)² = aₙ₋₁ · aₙ₊₁ | Her terim, komşularının geometrik ortalamasıdır |
| |r| < 1 ise S∞ = a₁/(1 – r) | Sonsuz geometrik serinin toplamı (yakınsak) |
Örnek: a₁ = 2, r = 3 olan geometrik dizide:
Dizi: 2, 6, 18, 54, 162, …
a₆ = 2 · 3⁵ = 2 · 243 = 486
S₅ = 2(3⁵ – 1)/(3 – 1) = 2 · 242/2 = 242
Geometrik Orta
a ve b pozitif sayıları arasında geometrik orta: √(a·b)
Örnek: 4 ile 16’nın geometrik ortası: √(4·16) = √64 = 8
Dizi: 4, 8, 16 (r = 2)
⚖️ Aritmetik Dizi vs Geometrik Dizi
| Özellik | Aritmetik Dizi | Geometrik Dizi |
|---|---|---|
| Kural | Sabit fark (d) eklenir | Sabit oran (r) ile çarpılır |
| Genel terim | aₙ = a₁ + (n–1)d (doğrusal) | aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹ (üstel) |
| Ortanca | Aritmetik ortalama: (a+b)/2 | Geometrik ortalama: √(a·b) |
| Toplam | Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 | Sₙ = a₁(rⁿ–1)/(r–1) |
| Grafik | Doğru üzerinde noktalar | Üstel eğri üzerinde noktalar |
🌍 Dizilerle Gerçek Hayat Problemleri
Aritmetik Dizi Uygulamaları
- Maaş artışı: Her yıl sabit miktarda (ör: 5000 TL) zam alan bir çalışanın maaşları aritmetik dizi oluşturur.
- Koltuk dizilimi: Bir amfide her sırada bir öncekinden 2 koltuk fazla varsa, koltuk sayıları aritmetik dizidir.
- Serbest düşüş: Her saniyede düşme mesafesi sabit artarsa aritmetik dizi oluşur.
Geometrik Dizi Uygulamaları
- Bileşik faiz: Her yıl %r faiz oranıyla büyüyen anaparanın yıl sonlarındaki değerleri geometrik dizi oluşturur. Aₙ = A₀ · (1+r)ⁿ
- Nüfus artışı: Sabit oranda artan nüfus geometrik dizidir.
- Radyoaktif bozunma: Yarı ömür süresinde kalan madde miktarı geometrik dizidir.
- Bakterilerin çoğalması: Her t dakikada ikiye bölünen bakteri sayısı: aₙ = a₁ · 2ⁿ
📌 YKS İpucu: Gerçek hayat problemlerinde önce dizinin aritmetik mi geometrik mi olduğunu belirleyin. Sabit artış/azalış → aritmetik. Sabit kat artış/azalış → geometrik.
⚠️ Sık Yapılan Hatalar
| ❌ Yanlış | ✅ Doğru |
|---|---|
| aₙ = a₁ + nd | aₙ = a₁ + (n–1)d |
| aₙ = a₁ · rⁿ | aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹ |
| Geometrik dizide r negatif olamaz. | r negatif olabilir → alternan geometrik dizi (2, –6, 18, –54, …) |
| Sonsuz serinin toplamı her zaman vardır. | Sonsuz geometrik seri toplamı yalnızca |r| < 1 olduğunda vardır. |
📋 Pratik Sorular
Soru 1: aₙ = 4n – 7 dizisinin 20. terimi ve ilk 20 terimin toplamını bulunuz.
a₂₀ = 4(20) – 7 = 80 – 7 = 73
a₁ = 4(1) – 7 = –3
S₂₀ = 20·(–3 + 73)/2 = 20·70/2 = 700
Soru 2: Bir geometrik dizide a₃ = 12 ve a₆ = 96 ise a₁ ve r’yi bulunuz.
a₆/a₃ = r³ → 96/12 = 8 → r³ = 8 → r = 2
a₃ = a₁·r² → 12 = a₁·4 → a₁ = 3
Soru 3: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … sonsuz serisinin toplamını bulunuz.
a₁ = 1, r = 1/2. |r| = 1/2 < 1 olduğundan yakınsaktır.
S∞ = a₁/(1–r) = 1/(1–1/2) = 1/(1/2) = 2
Soru 4: Bir amfide ilk sırada 20 koltuk var ve her sırada 3 koltuk artıyor. 15 sıradan oluşan amfide toplam kaç koltuk vardır?
Aritmetik dizi: a₁ = 20, d = 3, n = 15
a₁₅ = 20 + 14·3 = 20 + 42 = 62
S₁₅ = 15·(20 + 62)/2 = 15·82/2 = 615 koltuk
Soru 5: Bankaya yatırılan 10.000 TL yıllık %10 bileşik faizle büyüyor. 5 yıl sonra paranın değeri nedir?
Geometrik dizi: a₁ = 10.000, r = 1,10
a₆ = 10.000 · (1,10)⁵ = 10.000 · 1,61051 = 16.105,10 TL
📌 Diziler – Konu Özeti
- Dizi: Doğal sayılardan bir kümeye tanımlı fonksiyon; ayrık noktalar grafiği
- Genel terim: aₙ’yi doğrudan n cinsinden verir. İndirgemeli bağıntı: önceki terimlerle verir.
- Aritmetik dizi: Sabit fark (d). aₙ = a₁ + (n–1)d. Sₙ = n(a₁+aₙ)/2
- Geometrik dizi: Sabit oran (r). aₙ = a₁·rⁿ⁻¹. Sₙ = a₁(rⁿ–1)/(r–1)
- Sonsuz seri: |r| < 1 ise S∞ = a₁/(1–r)
- Gerçek hayat: Sabit artış → aritmetik. Sabit kat → geometrik (bileşik faiz, nüfus artışı)
0 Yorum