📏 Analitik Geometri
12. Sınıf Matematik • Konu Anlatımı
📋 İçindekiler
1. Doğrunun Eğimi ve Denklemi
📐 Eğim Kavramı
Doğrunun x ekseniyle yaptığı pozitif yöndeki α açısının tanjantıdır.
- m > 0 → doğru sağa doğru yükselir ↗
- m < 0 → doğru sağa doğru alçalır ↘
- m = 0 → yatay doğru (x eksenine paralel)
- m tanımsız → düşey doğru (y eksenine paralel)
Doğru Denklemi Formları
Eğim-nokta formu: y – y₁ = m(x – x₁)
Eğim-kesim formu: y = mx + n (n: y-kesim noktası)
Genel form: ax + by + c = 0
Kesim formu: x/a + y/b = 1 (a: x-kesim, b: y-kesim)
✏️ Çözümlü Örnek
Soru: A(1, 3) ve B(4, -3) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
m = (-3-3)/(4-1) = -6/3 = -2
y – 3 = -2(x – 1)
y – 3 = -2x + 2
y = -2x + 5
2. İki Doğrunun Birbirine Göre Durumu
| Durum | Koşul | Kesişim |
|---|---|---|
| Paralel | m₁ = m₂ ve n₁ ≠ n₂ | Kesişim yok |
| Çakışık | m₁ = m₂ ve n₁ = n₂ | Sonsuz nokta |
| Kesişen | m₁ ≠ m₂ | Tek nokta |
| Dik | m₁ · m₂ = -1 | Tek nokta (90°) |
İki Doğru Arasındaki Açı
θ, iki doğru arasındaki dar açıdır.
✏️ Çözümlü Örnek
Soru: y = 2x + 1 ve y = -3x + 4 doğrularının kesişim noktasını bulunuz.
2x + 1 = -3x + 4 → 5x = 3 → x = 3/5
y = 2(3/5) + 1 = 6/5 + 5/5 = 11/5
Kesişim: (3/5, 11/5)
3. Noktanın Doğruya Uzaklığı
P(x₀, y₀) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna uzaklığı:
Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık
ax + by + c₁ = 0 ve ax + by + c₂ = 0 doğruları paralel ise:
✏️ Çözümlü Örnek
Soru: P(2, -1) noktasının 3x – 4y + 5 = 0 doğrusuna uzaklığını bulunuz.
d = |3·2 – 4·(-1) + 5| / √(9 + 16)
d = |6 + 4 + 5| / √25
d = 15 / 5 = 3 birim
4. Çemberin Analitik İncelenmesi
Çember, düzlemde sabit bir noktaya (merkez) eşit uzaklıktaki noktaların kümesidir.
Standart (Merkez) Denklemi
Merkez M(a, b) ve yarıçap r olmak üzere:
Özel: Merkez orijin ise → x² + y² = r²
Genel Denklemi
Merkez: M(-D/2, -E/2)
Yarıçap: r = √(D²/4 + E²/4 – F)
Koşul: D²/4 + E²/4 – F > 0 olmalı (çemberin var olması için)
Çembere Teğet Doğru
x² + y² = r² çemberine P(x₀, y₀) noktasından çizilen teğetin denklemi:
✏️ Çözümlü Örnek
Soru: x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0 çemberinin merkezini ve yarıçapını bulunuz.
D = -4, E = 6, F = -12
Merkez: (-(-4)/2, -(6)/2) = (2, -3)
r = √(16/4 + 36/4 + 12) = √(4 + 9 + 12) = √25 = 5
5. Doğru ve Çemberin Birbirine Göre Durumu
Merkezin doğruya uzaklığı d, çemberin yarıçapı r olmak üzere:
| Koşul | Durum | Ortak Nokta |
|---|---|---|
| d > r | Doğru çemberin dışında | Kesişim yok |
| d = r | Doğru çembere teğet | 1 nokta (teğet) |
| d < r | Doğru çemberi keser | 2 nokta (kesen) |
Kiriş Uzunluğu (d < r ise)
Merkezden kirişe indirilen dikme, kirişi ortalar.
Dış Noktadan Çembere Teğet Uzunluğu
P noktası çemberin dışında ise (d > r), P’den çembere çizilen teğet uzunluğu:
✏️ Çözümlü Örnek
Soru: x² + y² = 25 çemberi ile y = x + 1 doğrusunun durumunu belirleyiniz.
Merkez: O(0, 0), r = 5
Doğru: x – y + 1 = 0 → a=1, b=-1, c=1
d = |0 – 0 + 1| / √(1+1) = 1/√2 ≈ 0.707
d < r → Doğru çemberi iki noktada keser
Kiriş: |AB| = 2√(25 – 1/2) = 2√(49/2) = 7√2 ≈ 9.9 birim
6. Gerçek Hayat Problemleri
🗺️ Navigasyon ve Konum
Harita üzerinde iki nokta arası en kısa yol, doğru denklemi ile modellenir. GPS sistemleri koordinat geometrisi temelinde çalışır. Bir verici kulesinin kapsama alanı, çember denklemi ile ifade edilir.
🏗️ Mühendislik
Örnek: Dairesel bir park alanının çapı boyunca bir yol geçecek. Park merkezi (3, 2) ve yarıçapı 50 m ise yol doğrusunun denklemi ve yolun parktan geçen uzunluğu hesaplanabilir.
📡 Radar ve Kapsama Alanı
Bir radar istasyonunun kapsama alanı çember olarak modellenir. Bir uçağın rotası doğru denklemiyle ifade edildiğinde, doğru-çember kesişimi ile uçağın radarla temas anları ve süresi hesaplanır.
7. Sık Yapılan Hatalar
❌ Yanlış: Dik koşulunda m₁ · m₂ = 1
✅ Doğru: m₁ · m₂ = -1 (negatif işareti unutulur)
❌ Yanlış: Çember genel denkleminde yarıçap = D²/4 + E²/4 – F
✅ Doğru: r = √(D²/4 + E²/4 – F). Karekök almayı unutma!
❌ Yanlış: Uzaklık formülünde mutlak değeri koymamak
✅ Doğru: d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a²+b²). Uzaklık daima pozitiftir!
❌ Yanlış: Merkezi (a,b) olan çember: (x+a)² + (y+b)² = r²
✅ Doğru: (x–a)² + (y–b)² = r². İşaretlere dikkat!
8. Pratik Sorular
Soru 1: y = 3x – 1 doğrusuna paralel ve (2, 5) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Cevabı Göster
Paralel → m = 3
y – 5 = 3(x – 2) → y = 3x – 6 + 5
y = 3x – 1 (ilginç: aynı doğru!)
Soru 2: y = 2x + 3 doğrusuna dik ve orijinden geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Cevabı Göster
Dik → m = -1/2
Orijinden geçiyor → y = mx
y = -x/2
Soru 3: Merkezi (1, -2) ve yarıçapı 3 olan çemberin denklemi nedir?
Cevabı Göster
(x-1)² + (y+2)² = 9
Açılmış hâli: x² – 2x + 1 + y² + 4y + 4 = 9
x² + y² – 2x + 4y – 4 = 0
Soru 4: (5, 0) noktasından x² + y² = 9 çemberine çizilen teğet uzunluğunu bulunuz.
Cevabı Göster
Merkez: O(0,0), r = 3
d = √(25+0) = 5 (d > r → dış nokta ✓)
t = √(d²-r²) = √(25-9) = 4 birim
Soru 5: 3x + 4y – 12 = 0 ve 3x + 4y + 8 = 0 paralel doğruları arasındaki uzaklığı bulunuz.
Cevabı Göster
d = |c₁ – c₂| / √(a²+b²)
d = |-12 – 8| / √(9+16) = 20/5 = 4 birim
9. Özet
Doğru
m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁) | y-y₁ = m(x-x₁) | Paralel: m₁=m₂ | Dik: m₁·m₂=-1
Uzaklık
Nokta-doğru: |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²) | Paralel doğrular: |c₁-c₂|/√(a²+b²)
Çember
(x-a)²+(y-b)²=r² | Genel: x²+y²+Dx+Ey+F=0 → M(-D/2,-E/2), r=√(D²/4+E²/4-F)
Doğru-Çember
d>r: dışarıda | d=r: teğet | d
0 Yorum